2. Розв'яжіть рівняння (х – 1)⁴ + 5(х – 1)² – 36 = 0.

Розв'язання:

Це біквадратне рівняння відносно \( (x-1)^2 \). Зробимо заміну змінної. Нехай \( t = (x-1)^2 \). Оскільки \( (x-1)^2 \) завжди невід'ємне, то \( t \geq 0 \).

Рівняння набуде вигляду:

\[ t^2 + 5t - 36 = 0 \].

Розв'яжемо це квадратне рівняння відносно \( t \) за допомогою дискримінанта.

\( D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4(1)(-36) = 25 + 144 = 169 \).

\[ t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 + \sqrt{169}}{2 \cdot 1} = \frac{-5 + 13}{2} = \frac{8}{2} = 4 \].

\[ t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 - \sqrt{169}}{2 \cdot 1} = \frac{-5 - 13}{2} = \frac{-18}{2} = -9 \].

Оскільки \( t \geq 0 \), то \( t_2 = -9 \) не підходить.

Повертаємося до заміни: \( (x-1)^2 = 4 \).

Звідси отримуємо два випадки:

1. \( x - 1 = \sqrt{4} \)

\[ x - 1 = 2 \]

\[ x = 2 + 1 = 3 \].

1. \( x - 1 = -\sqrt{4} \)

\[ x - 1 = -2 \]

\[ x = -2 + 1 = -1 \].

Відповідь: x = 3, x = -1.