3. Параллельные прямые а и b пересечены двумя параллельными секущими AB и CD, причём точки А и С принадлежат прямой а, а точки В и D — прямой b. Докажите, что AB = CD.

Решение:

Дано: прямые \( a \parallel b \). Секущие \( AB \) и \( CD \) также параллельны: \( AB Ⅳ CD \). Точки \( A, C \) лежат на прямой \( a \). Точки \( B, D \) лежат на прямой \( b \).

Требуется доказать: \( AB = CD \).

Рассмотрим четырехугольник \( ABCD \).

По условию \( a Ⅳ b \) и \( AB Ⅳ CD \).

Если в четырехугольнике противоположные стороны параллельны, то этот четырехугольник является параллелограммом.

Так как \( AC Ⅳ BD \) (прямые \( a \) и \( b \) параллельны) и \( AB Ⅳ CD \) (по условию), то четырёхугольник \( ABCD \) — параллелограмм.

В параллелограмме противоположные стороны равны.

Следовательно, \( AB = CD \) и \( AC = BD \).

Доказано.