3. Отрезки AB и CD пересекаются в их общей середине O. Докажите, что прямые AC и BD параллельны.

Так как точка O — середина отрезка \(AB\), то \(AO=OB\). Так как O — середина отрезка \(CD\), то \(CO=OD\).

Углы \(AOC\) и \(BOD\) — вертикальные, поэтому \(\angle AOC=\angle BOD\).

Следовательно, треугольники \(AOC\) и \(BOD\) равны по двум сторонам и углу между ними:

\[AO=OB,\quad CO=OD,\quad \angle AOC=\angle BOD.\]

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов: \(\angle OAC=\angle OBD\).

Эти углы являются накрест лежащими при пересечении прямых \(AC\) и \(BD\\) секущей \(AB\). Поэтому прямые параллельны.

Ответ: \(AC\parallel BD\).