3. Объём куба \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) равен 72. Найдите объём треугольной пирамиды \(A_1B_1D_1C\).

Обозначим ребро куба через \(a\). Тогда \(a^3=72\).

Треугольник \(A_1B_1D_1\) — половина верхней грани куба, поэтому его площадь равна \(\frac{a^2}{2}\). Расстояние от точки \(C\) до плоскости этой грани равно \(a\).

Объём пирамиды:

\(V=\frac{1}{3}\cdot\frac{a^2}{2}\cdot a=\frac{a^3}{6}=\frac{72}{6}=12\).

Ответ: 12