3. На расстоянии 12 см от центра шара проведено сечение, радиус которого равен 9 см. Найти объём шара и площадь его поверхности.

Решение:

Дано:

Расстояние от центра шара до сечения \( d = 12 \) см.

Радиус сечения \( r_{сеч} = 9 \) см.

Найти:

Объём шара \( V_{шара} \) и площадь поверхности шара \( S \).

Радиус шара \( R \), расстояние от центра до сечения \( d \) и радиус сечения \( r_{сеч} \) связаны теоремой Пифагора: \( R^2 = d^2 + r_{сеч}^2 \).

1. Найдём радиус шара: \[ R^2 = 12^2 + 9^2 = 144 + 81 = 225 \] \( R = \sqrt{225} = 15 \) см.
2. Найдём объём шара по формуле: \( V_{шара} = \frac{4}{3}\pi R^3 \).
3. Подставим значения: \[ V_{шара} = \(\frac{4}{3}\)\(\pi\) (15)^3 = \(\frac{4}{3}\)\(\pi\) \(\cdot\) 3375 = 4 \(\cdot\) 1125 \(\pi\) = 4500\(\pi\) \) см³.
4. Найдём площадь поверхности шара по формуле: \( S = 4\pi R^2 \).
5. Подставим значения: \[ S = 4\(\pi\) (15)^2 = 4\(\pi\) \(\cdot\) 225 = 900\(\pi\) \) см².

Ответ: объём шара \( 4500\pi \) см³, площадь поверхности \( 900\pi \) см².