1. Радиус цилиндра равен 4 см, а диагональ осевого сечения равна 10 см. Найти объём цилиндра.

Решение:

Дано:

Радиус цилиндра \( r = 4 \) см.

Диагональ осевого сечения \( d = 10 \) см.

Найти:

Объём цилиндра \( V \).

Осевое сечение цилиндра — это прямоугольник. Его стороны — это высота цилиндра \( h \) и диаметр основания \( D = 2r \). Диагональ \( d \) связана с ними теоремой Пифагора: \( d^2 = h^2 + D^2 \).

1. Найдём высоту цилиндра: \( D = 2r = 2 \cdot 4 = 8 \) см.
2. \[ h^2 = d^2 - D^2 = 10^2 - 8^2 = 100 - 64 = 36 \] \( h = \sqrt{36} = 6 \) см.
3. Найдём объём цилиндра по формуле: \( V = \pi r^2 h \).
4. Подставим значения: \[ V = \(\pi\) \(\cdot\) 4^2 \(\cdot\) 6 = \(\pi\) \(\cdot\) 16 \(\cdot\) 6 = 96\(\pi\) \) см³.

Ответ: \( 96\pi \) см³.