3. MABCD — правильная пирамида, ∠AMC = 60°, S_MAC = 6√3. Найдите V.

В правильной пирамиде основание ABCD — квадрат, поэтому диагонали основания AC и BD равны и пересекаются в центре O. Треугольник MAC равнобедренный: MA = MC. При \(\angle AMC=60^\circ\) он является равносторонним, поэтому

\[MA=MC=AC.\]

По формуле площади равностороннего треугольника:

\[S_{MAC}=\frac{AC^2\sqrt{3}}{4}=6\sqrt{3},\qquad AC^2=24.\]

Пусть сторона квадрата равна \(a\). Тогда \(AC=a\sqrt{2}\), следовательно:

\[2a^2=24,\qquad a^2=12.\]

Площадь основания \(S_{ABCD}=12\). Так как \(OA=\frac{AC}{2}=\sqrt{6}\), из прямоугольного треугольника MOA:

\[h^2=MA^2-OA^2=24-6=18,\qquad h=3\sqrt{2}.\]

Объём:

\[V=\frac{1}{3}S_{ABCD}h=\frac{1}{3}\cdot12\cdot3\sqrt{2}=12\sqrt{2}.\]

Ответ: \(12\sqrt{2}\).