3) Из пункта А в пункт В расстояние между которыми 18 км. одновременно выезжают ди велосипедиста. Скорость одного из них на 5 км/ч меньше скорости другого. Велосипедист который первым прибыл в В, сразу же повернул обратно и встретил другого велосипедиста через 1 ч 20мин. После выезда из А. На каком расстоянии от пункта произошла встреча?

Решение:

Пусть \( v_1 \) — скорость первого велосипедиста (который приехал первым в пункт В), а \( v_2 \) — скорость второго велосипедиста. Из условия известно, что \( v_1 - v_2 = 5 \) км/ч.

Расстояние между пунктами А и В равно 18 км.

Пусть \( t_1 \) — время, за которое первый велосипедист добрался до пункта В, а \( t_2 \) — время, за которое второй велосипедист добрался до пункта В.

Время в пути до встречи второго велосипедиста равно 1 час 20 минут, что составляет \( 1 + \frac{20}{60} = 1 + \frac{1}{3} = \frac{4}{3} \) часа.

Пусть \( t \) — время, которое прошло с момента выезда из А до момента встречи. Первый велосипедист, прибыв в В, сразу повернул обратно. Он ехал до пункта В, а затем обратно навстречу второму велосипедисту.

Пусть \( v_1 \) — скорость первого велосипедиста, а \( v_2 \) — скорость второго. \( v_1 = v_2 + 5 \).

Время первого велосипедиста до встречи: \( t_{1, \text{до встречи}} = t \).

Время второго велосипедиста до встречи: \( t_{2, \text{до встречи}} = \frac{4}{3} \) часа.

Расстояние, пройденное первым велосипедистом до встречи: \( S_1 = v_1 · t \).

Расстояние, пройденное вторым велосипедистом до встречи: \( S_2 = v_2 · \frac{4}{3} \).

Общее расстояние, которое проехали оба велосипедиста до момента встречи, равно расстоянию между А и В. Однако, первый велосипедист проехал расстояние до В (18 км), а затем еще какое-то расстояние навстречу второму. Второй велосипедист проехал до встречи какое-то расстояние.

Рассмотрим момент встречи. Первый велосипедистехал из А в В, затем повернул обратно. Второй велосипедистехал из А в В. Они встретились. Время, через которое встретились после выезда из А: \( t \) для первого и \( t \) для второго.

Первый велосипедист едет из А в В (18 км), затем обратно. Второй велосипедист едет из А в В.

Пусть \( v_1 \) — скорость первого, \( v_2 \) — скорость второго. \( v_1 = v_2 + 5 \). \( v_1 > v_2 \).

Время первого до В: \( t_1 = \frac{18}{v_1} \). Время второго до В: \( t_2 = \frac{18}{v_2} \).

Первый велосипедист приехал в В, повернул обратно. Время до встречи после выезда из А: \( T = 1 \text{ ч } 20 \text{ мин} = \frac{4}{3} \) ч.

Расстояние, которое проехал первый велосипедист до встречи: \( S_1 = v_1 · T \).

Расстояние, которое проехал второй велосипедист до встречи: \( S_2 = v_2 · T \).

Когда первый велосипедист повернул обратно, он был в пункте В. Время, которое он ехал до В: \( t_{\text{АВ}} = \frac{18}{v_1} \).

После того, как он повернул обратно, он ехал \( T - t_{\text{АВ}} = \frac{4}{3} - \frac{18}{v_1} \) часов.

Расстояние, которое он проехал обратно: \( S_{\text{обратно}} = v_1 · (\frac{4}{3} - \frac{18}{v_1}) = \frac{4}{3}v_1 - 18 \).

Расстояние от А до места встречи равно \( 18 - S_{\text{обратно}} = 18 - (\frac{4}{3}v_1 - 18) = 36 - \frac{4}{3}v_1 \).

Расстояние, которое проехал второй велосипедист до встречи: \( S_2 = v_2 · T = v_2 · \frac{4}{3} \).

Расстояние от А до места встречи равно \( S_2 \) для второго велосипедиста. Значит, \( 36 - \frac{4}{3}v_1 = \frac{4}{3}v_2 \).

Подставим \( v_1 = v_2 + 5 \):

\( 36 - \frac{4}{3}(v_2 + 5) = \frac{4}{3}v_2 \)

\( 36 - \frac{4}{3}v_2 - \frac{20}{3} = \frac{4}{3}v_2 \)

\( 36 - \frac{20}{3} = \frac{4}{3}v_2 + \frac{4}{3}v_2 \)

\( \frac{108 - 20}{3} = \frac{8}{3}v_2 \)

\( \frac{88}{3} = \frac{8}{3}v_2 \)

\( v_2 = \frac{88}{3} · \frac{3}{8} = 11 \) км/ч.

Тогда \( v_1 = v_2 + 5 = 11 + 5 = 16 \) км/ч.

Теперь найдем расстояние от пункта А до места встречи. Для второго велосипедиста это \( S_2 = v_2 · T = 11 · \frac{4}{3} = \frac{44}{3} \) км.

\( \frac{44}{3} = 14 \frac{2}{3} \) км.

Проверим для первого велосипедиста:

Время до В: \( t_{\text{АВ}} = \frac{18}{v_1} = \frac{18}{16} = \frac{9}{8} \) ч.

Время в пути обратно: \( T - t_{\text{АВ}} = \frac{4}{3} - \frac{9}{8} = \frac{32 - 27}{24} = \frac{5}{24} \) ч.

Расстояние обратно: \( v_1 · \frac{5}{24} = 16 · \frac{5}{24} = \frac{16 · 5}{24} = \frac{2 · 5}{3} = \frac{10}{3} \) км.

Расстояние от А до места встречи: \( 18 - \frac{10}{3} = \frac{54 - 10}{3} = \frac{44}{3} \) км.

Результаты совпадают.

Ответ: встреча произошла на расстоянии 14 целых 2/3 км от пункта А.