3. Докажите равенство остроугольных треугольников по двум углам и высоте, проведенной из вершины третьего угла.

Доказательство:

Рассмотрим два остроугольных треугольника: ΔABC и ΔA'B'C'.

Условие:

• Два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника. Пусть ∠A = ∠A' и ∠B = ∠B'.
• Высота, проведенная из вершины третьего угла (вершины C и C') одного треугольника, равна высоте, проведенной из вершины третьего угла другого треугольника. Пусть CD — высота в ΔABC (CD ⊥ AB), C'D' — высота в ΔA'B'C' (C'D' ⊥ A'B'), и CD = C'D'.

Доказать: ΔABC = ΔA'B'C'.

Доказательство:

1. Равенство третьих углов:
   • В ΔABC: ∠C = 180° - (∠A + ∠B).
   • В ΔA'B'C': ∠C' = 180° - (∠A' + ∠B').
   • Так как ∠A = ∠A' и ∠B = ∠B', то ∠C = ∠C'.
2. Равенство треугольников по стороне и двум прилежащим углам (признак равенства треугольников, Угол-Сторона-Угол, УСУ):
   • Рассмотрим треугольники ΔADC и ΔA'D'C'.
   • ∠A = ∠A' (по условию).
   • ∠ADC = ∠A'D'C' = 90° (по определению высоты).
   • CD = C'D' (по условию).
   • Следовательно, ΔADC = ΔA'D'C' по признаку равенства прямоугольных треугольников (катет и прилежащий острый угол).
   • Из равенства этих треугольников следует, что AC = A'C' и AD = A'D'.
3. Применение признака УСУ:
   • Теперь рассмотрим треугольники ΔABC и ΔA'B'C'.
   • У нас есть:
   • AC = A'C' (доказано выше).
   • ∠A = ∠A' (по условию).
   • ∠C = ∠C' (доказано выше).
   • Однако, признак УСУ требует равенства двух углов и прилежащей стороны. В данном случае, у нас равенство углов A и C, но сторона AC лежит напротив угла B.
   • Альтернативный подход:
   • Рассмотрим треугольники ΔBCD и ΔB'C'D'.
   • ∠B = ∠B' (по условию).
   • ∠BDC = ∠B'D'C' = 90° (по определению высоты).
   • CD = C'D' (по условию).
   • Следовательно, ΔBCD = ΔB'C'D' по признаку равенства прямоугольных треугольников (катет и прилежащий острый угол).
   • Из равенства этих треугольников следует, что BC = B'C' и BD = B'D'.
4. Применение признака СУС (Сторона-Угол-Сторона):
   • Теперь рассмотрим треугольники ΔABC и ΔA'B'C'.
   • У нас есть:
   • AC = A'C' (из равенства ΔADC и ΔA'D'C').
   • ∠C = ∠C' (доказано выше).
   • BC = B'C' (из равенства ΔBCD и ΔB'C'D').
   • Таким образом, ΔABC = ΔA'B'C' по признаку равенства треугольников (две стороны и угол между ними).
5. Вывод:
   • Можно также применить признак равенства треугольников по стороне и двум прилежащим углам (УСУ), используя сторону AB = A'B' (т.к. AB = AD + DB и A'B' = A'D' + D'B', а AD = A'D' и DB = D'B').

Таким образом, два остроугольных треугольника равны по двум углам и высоте, проведенной из вершины третьего угла.