3. Длина ребра куба АВСВА1B1C1D1 равна 4b. Точка К — середина АВ. Найдите: а) расстояние между серединами отрезков АС1 и DK; б) угол между прямыми АС1 и DK.

Привет! Интересная задачка про куб. Давай разберемся с ней по частям.

Что дано?

• Куб ABCDA₁B₁C₁D₁.
• Длина ребра равна 4b.
• Точка K — середина ребра AB.

Что нужно найти?

1. а) Расстояние между серединами отрезков AC₁ и DK.
2. б) Угол между прямыми AC₁ и DK.

Чтобы решить эту задачу, удобно будет ввести систему координат.

Шаг 1: Вводим систему координат.

Пусть вершина A будет началом координат (0; 0; 0).

Пусть ребра AB, AD, AA₁ совпадают с осями X, Y, Z соответственно.

Тогда координаты вершин будут:

• A = (0; 0; 0)
• B = (4b; 0; 0)
• C = (4b; 4b; 0)
• D = (0; 4b; 0)
• A₁ = (0; 0; 4b)
• B₁ = (4b; 0; 4b)
• C₁ = (4b; 4b; 4b)
• D₁ = (0; 4b; 4b)

Шаг 2: Находим координаты нужных точек.

• Точка K (середина AB):
• K = ((0 + 4b)/2; (0 + 0)/2; (0 + 0)/2) = (2b; 0; 0)
• Точка AC₁:
• A = (0; 0; 0)
• C₁ = (4b; 4b; 4b)
• Точка DK:
• D = (0; 4b; 0)
• K = (2b; 0; 0)

Шаг 3: Находим середины отрезков.

а) Расстояние между серединами отрезков AC₁ и DK.

Пусть M₁ — середина AC₁.

M₁ = ((0 + 4b)/2; (0 + 4b)/2; (0 + 4b)/2) = (2b; 2b; 2b)

Пусть M₂ — середина DK.

M₂ = ((0 + 2b)/2; (4b + 0)/2; (0 + 0)/2) = (b; 2b; 0)

Теперь найдем расстояние между M₁ и M₂. Формула расстояния между двумя точками (x₁, y₁, z₁) и (x₂, y₂, z₂):

d = √((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)² + (z₂ - z₁)²)

d(M₁, M₂) = √((b - 2b)² + (2b - 2b)² + (0 - 2b)²)

d(M₁, M₂) = √((-b)² + 0² + (-2b)²)

d(M₁, M₂) = √(b² + 4b²) = √5b² = b√5

Ответ а): Расстояние между серединами отрезков AC₁ и DK равно b√5.

б) Угол между прямыми AC₁ и DK.

Чтобы найти угол между прямыми, найдем векторы, соответствующие этим прямым.

Вектор AC₁ = C₁ - A = (4b; 4b; 4b) - (0; 0; 0) = (4b; 4b; 4b)

Вектор DK = K - D = (2b; 0; 0) - (0; 4b; 0) = (2b; -4b; 0)

Формула для нахождения косинуса угла между двумя векторами a и b:

cos(θ) = (a · b) / (|a| · |b|)

Найдем скалярное произведение векторов AC₁ и DK:

AC₁ · DK = (4b * 2b) + (4b * -4b) + (4b * 0)

AC₁ · DK = 8b² - 16b² + 0 = -8b²

Найдем длины векторов:

|AC₁| = √((4b)² + (4b)² + (4b)²) = √(16b² + 16b² + 16b²) = √(48b²) = 4b√3

|DK| = √((2b)² + (-4b)² + 0²) = √(4b² + 16b²) = √20b² = 2b√5

Найдем косинус угла:

cos(θ) = (-8b²) / (4b√3 * 2b√5)

cos(θ) = (-8b²) / (8b²√15)

cos(θ) = -1 / √15

Угол θ — это угол между векторами. Угол между прямыми — это острый угол, поэтому мы берем модуль косинуса.

cos(θ) = |-1 / √15| = 1 / √15

θ = arccos(1 / √15)

Ответ б): Угол между прямыми AC₁ и DK равен arccos(1 / √15).