2. Середины сторон треугольника АВС имеют координаты М (2; 3; -1), N (1; - 4; - 3), К (- 3; 2; 2). М — середина АB, N — середина ВС, К — середина АС. Найдите координаты вершин треугольника.

Привет! Эта задача про нахождение вершин треугольника по координатам середин его сторон. Звучит сложно, но мы справимся!

Что дано?

• Координаты середин сторон:
• M(2; 3; -1) — середина AB
• N(1; -4; -3) — середина BC
• K(-3; 2; 2) — середина AC

Как будем решать?

Есть формула, которая связывает координаты вершин (A(x₁, y₁, z₁), B(x₂, y₂, z₂), C(x₃, y₃, z₃)) и координаты середин сторон:

• x_M = (x₁ + x₂)/2
• y_M = (y₁ + y₂)/2
• z_M = (z₁ + z₂)/2

И так для каждой середины.

Но есть и более короткий путь! Координаты вершин можно найти по формуле:

• A = M + K - N
• B = M + N - K
• C = N + K - M

Давай применим ее!

Вычисления:

1. Находим вершину A:

   A = (2; 3; -1) + (-3; 2; 2) - (1; -4; -3)

   x_A = 2 + (-3) - 1 = 2 - 3 - 1 = -2

   y_A = 3 + 2 - (-4) = 3 + 2 + 4 = 9

   z_A = -1 + 2 - 2 = -1

   Значит, A(-2; 9; -1)

2. Находим вершину B:

   B = (2; 3; -1) + (1; -4; -3) - (-3; 2; 2)

   x_B = 2 + 1 - (-3) = 2 + 1 + 3 = 6

   y_B = 3 + (-4) - 2 = 3 - 4 - 2 = -3

   z_B = -1 + (-3) - 2 = -1 - 3 - 2 = -6

   Значит, B(6; -3; -6)

3. Находим вершину C:

   C = (1; -4; -3) + (-3; 2; 2) - (2; 3; -1)

   x_C = 1 + (-3) - 2 = 1 - 3 - 2 = -4

   y_C = -4 + 2 - 3 = -4 + 2 - 3 = -5

   z_C = -3 + 2 - (-1) = -3 + 2 + 1 = 0

   Значит, C(-4; -5; 0)

Проверка:

Давай проверим, например, середину M для AB:

x_M = (-2 + 6)/2 = 4/2 = 2

y_M = (9 + (-3))/2 = 6/2 = 3

z_M = (-1 + (-6))/2 = -7/2 = -3.5

Что-то не сходится с M(2; 3; -1). Похоже, в условии задачи или в наших расчетах есть ошибка. Давай перепроверим формулу.

Формула правильная. Давайте проверим расчеты еще раз.

Пересчет

Находим вершину A:

A = M + K - N

x_A = 2 + (-3) - 1 = -2

y_A = 3 + 2 - (-4) = 9

z_A = -1 + 2 - 2 = -1

A(-2; 9; -1)

Находим вершину B:

B = M + N - K

x_B = 2 + 1 - (-3) = 6

y_B = 3 + (-4) - 2 = -3

z_B = -1 + (-3) - 2 = -6

B(6; -3; -6)

Находим вершину C:

C = N + K - M

x_C = 1 + (-3) - 2 = -4

y_C = -4 + 2 - 3 = -5

z_C = -3 + 2 - (-1) = 0

C(-4; -5; 0)

Проверка середины AB (M):

x_M = (-2 + 6)/2 = 4/2 = 2 (совпадает)

y_M = (9 + (-3))/2 = 6/2 = 3 (совпадает)

z_M = (-1 + (-6))/2 = -7/2 = -3.5 (НЕ совпадает с -1)

Перепроверим условие задачи, похоже, что координаты точки M могли быть указаны неверно, если M - середина AB.

Давайте попробуем использовать другую формулу, где мы сначала найдем векторы.

Пусть A=(x₁, y₁, z₁), B=(x₂, y₂, z₂), C=(x₃, y₃, z₃).

Тогда:

M = (A+B)/2 => A+B = 2M

N = (B+C)/2 => B+C = 2N

K = (A+C)/2 => A+C = 2K

Решим систему:

1) A + B = 2M = (4; 6; -2)

2) B + C = 2N = (2; -8; -6)

3) A + C = 2K = (-6; 4; 4)

Сложим все уравнения:

(A+B) + (B+C) + (A+C) = 2M + 2N + 2K

2A + 2B + 2C = 2(M + N + K)

A + B + C = M + N + K

A + B + C = (2; 3; -1) + (1; -4; -3) + (-3; 2; 2) = (2+1-3; 3-4+2; -1-3+2) = (0; 1; -2)

Теперь найдем каждую вершину:

A = (A+B+C) - (B+C) = (0; 1; -2) - (2; -8; -6) = (0-2; 1-(-8); -2-(-6)) = (-2; 9; 4)

B = (A+B+C) - (A+C) = (0; 1; -2) - (-6; 4; 4) = (0-(-6); 1-4; -2-4) = (6; -3; -6)

C = (A+B+C) - (A+B) = (0; 1; -2) - (4; 6; -2) = (0-4; 1-6; -2-(-2)) = (-4; -5; 0)

Проверим середины:

M (середина AB):

x_M = (-2 + 6) / 2 = 4/2 = 2 (совпадает)

y_M = (9 + (-3)) / 2 = 6/2 = 3 (совпадает)

z_M = (4 + (-6)) / 2 = -2/2 = -1 (совпадает)

N (середина BC):

x_N = (6 + (-4)) / 2 = 2/2 = 1 (совпадает)

y_N = (-3 + (-5)) / 2 = -8/2 = -4 (совпадает)

z_N = (-6 + 0) / 2 = -6/2 = -3 (совпадает)

K (середина AC):

x_K = (-2 + (-4)) / 2 = -6/2 = -3 (совпадает)

y_K = (9 + (-5)) / 2 = 4/2 = 2 (совпадает)

z_K = (4 + 0) / 2 = 4/2 = 2 (совпадает)

Все совпало! Значит, расчеты верные.

Результат:

Координаты вершин треугольника:

• A(-2; 9; 4)
• B(6; -3; -6)
• C(-4; -5; 0)

Ответ: A(-2; 9; 4), B(6; -3; -6), C(-4; -5; 0)