3. Через точку С окружности с центром О проведена касательная АВ, причем АС = СВ. Докажите, что АО = ОВ.

Доказательство:

Дано: Окружность с центром О. AB — касательная к окружности в точке C. AC = CB.

Доказать: AO = OB.

Доказательство:

1. Так как AB — касательная к окружности в точке C, то OC \( \perp \) AB. Следовательно, \( \angle ACO = \angle BCO = 90° \).
2. По условию AC = CB.
3. OC — общий катет для прямоугольных треугольников \( \triangle ACO \) и \( \triangle BCO \).
4. По признаку равенства прямоугольных треугольников (по двум катетам), если два катета одного прямоугольного треугольника равны двум катетам другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.
5. Следовательно, \( \triangle ACO = \triangle BCO \) по первому признаку равенства прямоугольных треугольников (по двум катетам).
6. Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон: AO = OB.

Что и требовалось доказать.