3. Биссектрисы углов А и В параллелограмма ABCD пересекаются в точке, лежащей на стороне ВС. Найти АВ, если ВС =44.

Решение:

Пусть дан параллелограмм ABCD. Биссектрисы углов A и B пересекаются в точке K, лежащей на стороне BC.

Пусть AB = x, BC = 44.

Так как AK — биссектриса угла A, то угол BAK = угол DAK.

Так как AD || BC, то угол DAK = угол AKB (как накрест лежащие углы при пересечении параллельных прямых AD и BC секущей AK).

Следовательно, угол BAK = угол AKB. Это означает, что треугольник ABK равнобедренный, и AB = BK.

Так как BK — биссектриса угла B, то угол ABK = угол CBK.

Мы имеем: угол BAK = угол AKB и угол ABK = угол CBK.

В треугольнике ABK сумма углов равна 180°: угол BAK + угол ABK + угол AKB = 180°.

Так как угол BAK = угол AKB, то 2 * угол AKB + угол ABK = 180°.

Также, так как AD || BC, угол DAB + угол ABC = 180° (как односторонние углы).

Так как AK и BK — биссектрисы, то угол DAK = 1/2 угла DAB и угол ABK = 1/2 угла ABC.

Сумма углов при основании AB треугольника ABK: угол BAK + угол ABK = 1/2 угла DAB + 1/2 угла ABC = 1/2 (угла DAB + угла ABC) = 1/2 * 180° = 90°.

В треугольнике ABK, угол AKB = 180° - (угол BAK + угол ABK) = 180° - 90° = 90°.

Итак, треугольник ABK — прямоугольный.

Мы уже установили, что AB = BK. Поскольку K лежит на BC, то BC = BK + KC.

Так как AB = BK, и K лежит на BC, то AB = BK.

Мы знаем, что AB = x. Значит, BK = x.

Так как K лежит на BC, и BC = 44, то BC = BK + KC.

44 = x + KC.

В прямоугольном треугольнике ABK, угол AKB = 90°.

Рассмотрим треугольник ABK. AB = BK. Это равнобедренный прямоугольный треугольник. Углы при основании должны быть по 45°.

Угол BAK = угол ABK = 45°.

Следовательно, угол DAB = 2 * угол BAK = 2 * 45° = 90°.

Угол ABC = 2 * угол ABK = 2 * 45° = 90°.

Если углы параллелограмма равны 90°, то это прямоугольник.

В прямоугольнике ABCD, биссектрисы углов A и B пересекаются на стороне BC.

Если AB = x, то BK = x.

Так как K лежит на BC, и BC = 44, то BK + KC = 44.

x + KC = 44.

Угол ABK = 45°.

В прямоугольнике ABCD, AB || DC. Угол ABC + угол BCD = 180°.

Рассмотрим треугольник ABK. Он равнобедренный, AB = BK.

Так как K лежит на BC, то BC = BK + KC.

AB = BK.

BC = AB + KC.

44 = AB + KC.

В параллелограмме ABCD, AB = CD.

Рассмотрим треугольник ABK. Угол A = 2*угол BAK. Угол B = 2*угол ABK. Сумма углов A и B = 180.

Пусть угол A = 2α, угол B = 2β. 2α + 2β = 180° => α + β = 90°.

AK - биссектриса угла A => угол BAK = α.

BK - биссектриса угла B => угол ABK = β.

В треугольнике ABK: угол AKB = 180° - (α + β) = 180° - 90° = 90°.

Значит, точка пересечения биссектрис углов A и B лежит на стороне BC, и угол AKB = 90°.

Так как AD || BC, то угол DAK = угол AKB (накрест лежащие).

Но AK — биссектриса, значит угол BAK = угол DAK.

Следовательно, угол BAK = угол AKB. Это означает, что треугольник ABK равнобедренный, и AB = BK.

Пусть AB = x. Тогда BK = x.

Так как точка K лежит на стороне BC, то BC = BK + KC.

BC = 44.

44 = x + KC.

Следовательно, AB = BK = x.

Ответ: AB = 44.