2. В параллелограмме ABCD биссектрисы ВМ и СМ пересекаются в точке М, лежащей на стороне AD. Найти стороны АВ и AD, если периметр параллелограмма равен 24.

Question

Accepted Answer

Пусть дан параллелограмм ABCD. Биссектрисы углов B и C пересекаются в точке M на стороне AD. Периметр параллелограмма равен 24.

Пусть AB = x, BC = y. Тогда периметр P = 2(x + y) = 24, откуда x + y = 12.

Так как BM — биссектриса угла B, то угол ABM = угол CBM.

Так как AD || BC, то угол CBM = угол AMB (как накрест лежащие углы при пересечении параллельных прямых AD и BC секущей BM).

Следовательно, угол ABM = угол AMB. Это означает, что треугольник ABM равнобедренный, и AB = AM. Таким образом, AM = x.

Аналогично, так как CM — биссектриса угла C, то угол BCM = угол DCM.

Так как AD || BC, то угол BCM = угол CMD (как накрест лежащие углы при пересечении параллельных прямых AD и BC секущей CM).

Следовательно, угол DCM = угол CMD. Это означает, что треугольник CMD равнобедренный, и CD = MD. Так как CD = AB, то CD = x. Следовательно, MD = x.

Точка M лежит на стороне AD, поэтому AD = AM + MD.

AD = x + x = 2x. Таким образом, y = AD = 2x.

Теперь подставим y = 2x в уравнение периметра: x + 2x = 12.

3x = 12

x = 4.

Следовательно, AB = x = 4.

AD = y = 2x = 2 * 4 = 8.

Проверка: Периметр = 2 * (4 + 8) = 2 * 12 = 24. Условие выполняется.

Ответ: AB = 4, AD = 8.