3. б) MNKL — прямоугольник. Определите координаты точки L, если М(-2; -2), N(-2; 6), K(-4; -2).

Решение:

Задан прямоугольник MNKL с координатами вершин: M(-2; -2), N(-2; 6), K(-4; -2). Ищем координаты точки L(x; y).

Стороны прямоугольника параллельны осям координат.

Сторона MN параллельна оси Y, так как x-координаты точек M и N совпадают (-2). Длина MN: \( |6 - (-2)| = |6 + 2| = 8 \).

Сторона MK параллельна оси X, так как y-координаты точек M и K совпадают (-2). Длина MK: \( |-4 - (-2)| = |-4 + 2| = |-2| = 2 \).

В прямоугольнике противоположные стороны равны и параллельны.

Сторона NL должна быть параллельна MK и иметь такую же длину (2).

Сторона KL должна быть параллельна MN и иметь такую же длину (8).

Для нахождения координат точки L, рассмотрим векторы: \( \vec{ML} = \vec{NK} \) или \( \vec{MN} = \vec{KL} \).

Используем \( \vec{MN} = \vec{KL} \).

Координаты вектора \( \vec{MN} \): \( (-2 - (-2); 6 - (-2)) = (0; 8) \).

Координаты вектора \( \vec{KL} \): \( (x_L - (-4); y_L - (-2)) = (x_L + 4; y_L + 2) \).

Приравниваем соответствующие компоненты: \( x_L + 4 = 0 \) и \( y_L + 2 = 8 \).

Отсюда \( x_L = -4 \) и \( y_L = 6 \).

Проверим координаты точки L( -4; 6).

Сторона NK: \( |-4 - (-2)| = |-2| = 2 \) (параллельна оси X).

Сторона KL: \( |6 - 6| = 0 \) (параллельна оси Y).

Сторона KL: \( |-4 - (-4)| = 0 \).

Сторона NK: \( |6 - (-2)| = 8 \).

Координаты L должны быть такие, чтобы KL была параллельна MN, а NL — параллельна MK.

M(-2; -2), N(-2; 6), K(-4; -2).

Для нахождения L, можно сложить векторы, исходящие из одной точки. Например: \( \vec{OL} = \vec{OM} + \vec{NK} \). Но \( \vec{NK} = \vec{ML} \).

Используем свойство диагоналей: середина диагонали MK совпадает с серединой диагонали NL.

Середина MK: \( (\frac{-2 + (-4)}{2}; \frac{-2 + (-2)}{2}) = (\frac{-6}{2}; \frac{-4}{2}) = (-3; -2) \).

Середина NL: \( (\frac{-2 + x_L}{2}; \frac{6 + y_L}{2}) \).

Приравниваем координаты середин: \( \frac{-2 + x_L}{2} = -3 \) и \( \frac{6 + y_L}{2} = -2 \).

\( -2 + x_L = -6 \) \( \Rightarrow x_L = -4 \).

\( 6 + y_L = -4 \) \( \Rightarrow y_L = -10 \).

Проверим:

M(-2;-2), N(-2;6), K(-4;-2), L(-4;-10).

MN: x=-2, длина 8. NK: y=-2, длина 2.

KL: x=-4, длина \(|-10 - (-2)| = |-8| = 8 \).

NL: y=-10, длина \(|-4 - (-2)| = |-2| = 2 \).

Следовательно, L имеет координаты (-4; -10).

Ответ: L(-4; -10)