3. ∠1 + ∠2 = 180°; ∠3 на 70° меньше ∠4. Найдите ∠3, ∠4.

Решение:

На рисунке видно, что \( \angle 1 \) и \( \angle 2 \) — смежные углы, так как они образуют развёрнутый угол. Сумма смежных углов равна \( 180^{\circ} \), что соответствует первому условию \( \angle 1 + \angle 2 = 180^{\circ} \).

Прямые \( a \) и \( b \) параллельны, так как \( \angle 1 \) и \( \angle 2 \) — односторонние углы при секущей \( AC \), и их сумма равна \( 180^{\circ} \).

Углы \( \angle 2 \) и \( \angle 3 \) являются накрест лежащими при параллельных прямых \( a \) и \( b \) и секущей \( AC \). Следовательно, \( \angle 2 = \angle 3 \).

Углы \( \angle 1 \) и \( \angle 4 \) являются накрест лежащими при параллельных прямых \( a \) и \( b \) и секущей \( BC \). Следовательно, \( \angle 1 = \angle 4 \).

Из условия задачи известно, что \( \angle 3 \) на \( 70^{\circ} \) меньше \( \angle 4 \). Запишем это как уравнение:

\( \angle 3 = \angle 4 - 70^{\circ} \).

Так как \( \angle 2 = \angle 3 \) и \( \angle 1 = \angle 4 \), мы можем заменить \( \angle 3 \) на \( \angle 2 \) и \( \angle 4 \) на \( \angle 1 \) в уравнении:

\( \angle 2 = \angle 1 - 70^{\circ} \).

Мы знаем, что \( \angle 1 + \angle 2 = 180^{\circ} \). Подставим выражение для \( \angle 2 \) из предыдущего уравнения:

\( \angle 1 + (\angle 1 - 70^{\circ}) = 180^{\circ} \)

\( 2\angle 1 - 70^{\circ} = 180^{\circ} \)

\( 2\angle 1 = 180^{\circ} + 70^{\circ} \)

\( 2\angle 1 = 250^{\circ} \)

\( \angle 1 = \frac{250^{\circ}}{2} = 125^{\circ} \).

Теперь найдём \( \angle 2 \):

\( \angle 2 = 180^{\circ} - \angle 1 = 180^{\circ} - 125^{\circ} = 55^{\circ} \).

Поскольку \( \angle 3 = \angle 2 \) и \( \angle 4 = \angle 1 \):

\( \angle 3 = 55^{\circ} \)

\( \angle 4 = 125^{\circ} \).

Проверим условие \( \angle 3 \) на \( 70^{\circ} \) меньше \( \angle 4 \): \( 125^{\circ} - 55^{\circ} = 70^{\circ} \). Условие выполняется.

Ответ: \( \(\angle\) 3 = 55^{\(\circ\)}, \(\angle\) 4 = 125^{\(\circ\)}.