28.20. a) y = x tg x; б) y = sin x tg x;

Решение:

a) Найдем производную функции \( y = x \operatorname{tg} x \).

Используем правило дифференцирования произведения: \( (uv)\' = u'v + uv' \).

Пусть \( u = x \) и \( v = \operatorname{tg} x \).

Тогда \( u' = 1 \) и \( v' = \frac{1}{\cos^2 x} \).

\[ y\' = 1 \cdot \operatorname{tg} x + x \cdot \frac{1}{\cos^2 x} = \operatorname{tg} x + \frac{x}{\cos^2 x} \]

б) Найдем производную функции \( y = \sin x \operatorname{tg} x \).

Используем правило дифференцирования произведения.

Пусть \( u = \sin x \) и \( v = \operatorname{tg} x \).

Тогда \( u' = \cos x \) и \( v' = \frac{1}{\cos^2 x} \).

\[ y\' = (\cos x) \cdot (\operatorname{tg} x) + (\sin x) \cdot \left(\frac{1}{\cos^2 x}\right) = \cos x \cdot \frac{\sin x}{\cos x} + \frac{\sin x}{\cos^2 x} = \sin x + \frac{\sin x}{\cos^2 x} = \sin x \left(1 + \frac{1}{\cos^2 x}\right) \]

Ответ: a) \( y\' = \operatorname{tg} x + \frac{x}{\cos^2 x} \); б) \( y\' = \sin x \left(1 + \frac{1}{\cos^2 x}\right) \).