273. Андрей вышел из пункта А в 10:18 и, двигаясь с постоянной скоростью, пришёл в пункт Б в 13:30. В тот же день Борис вышел из Б в 9:00 и, идя по той же дороге с постоянной скоростью, пришёл в А в 11:40. Дорога пересекает реку. Андрей и Борис одновременно подошли к мосту через эту реку, каждый со своей стороны. Андрей ушёл с моста на одну минуту позже Бориса. Когда они подошли к мосту?

Решение:

1. Определим время в пути каждого:

• Время Андрея в пути: с 10:18 до 13:30. Это \(13 \text{ ч } 30 \text{ мин} - 10 \text{ ч } 18 \text{ мин} = 3 \text{ ч } 12 \text{ мин}\).
• Время Бориса в пути: с 9:00 до 11:40. Это \(11 \text{ ч } 40 \text{ мин} - 9 \text{ ч } 00 \text{ мин} = 2 \text{ ч } 40 \text{ мин}\).

2. Переведём время в минуты:

• Время Андрея: \(3 \text{ ч} \times 60 \text{ мин/ч} + 12 \text{ мин} = 180 + 12 = 192 \text{ мин}\).
• Время Бориса: \(2 \text{ ч} \times 60 \text{ мин/ч} + 40 \text{ мин} = 120 + 40 = 160 \text{ мин}\).

3. Определим скорость каждого (обозначим расстояние между А и Б как S):

• Скорость Андрея: \(v_A = \frac{S}{192}\) (расстояние в минуту).
• Скорость Бориса: \(v_B = \frac{S}{160}\) (расстояние в минуту).

4. Определим время, когда они подошли к мосту:

Пусть \(t\) — время в минутах от начала суток (00:00), когда они подошли к мосту. Мост находится на некотором расстоянии от А и Б. Обозначим расстояние от А до моста как \(S_A\) и от Б до моста как \(S_B\). Общее расстояние \(S = S_A + S_B\).

Андрей подошёл к мосту в момент \(t_A\) от начала своего пути. Борис подошёл к мосту в момент \(t_B\) от начала своего пути.

Они подошли к мосту одновременно, значит, время от начала суток, когда они достигли моста, одно и то же. Пусть это время будет \(T_{мост}\).

Время, которое затратил Андрей до моста: \(T_{мост} - 10:18\). Расстояние от А до моста: \(S_A = v_A \times (T_{мост} - 10:18)\).

Время, которое затратил Борис до моста: \(T_{мост} - 9:00\). Расстояние от Б до моста: \(S_B = v_B \times (T_{мост} - 9:00)\).

Условие: Андрей ушёл с моста на одну минуту позже Бориса. Это значит, что время, которое они провели на мосту, отличается на 1 минуту.

Борис вышел из Б в 9:00. Андрей из А в 10:18. Разница во времени выхода: 1 час 18 минут = 78 минут.

Пусть \(t_m\) — время, которое они потратили на переход моста. Борис прошел мост за \(t_m\) минут, Андрей за \(t_m + 1\) минут.

Обозначим время, когда они подошли к мосту, как \(X\) (в минутах от начала суток).

Расстояние от А до моста = \(\frac{S}{192} \times (X - 10 \text{ч } 18 \text{мин})\).

Расстояние от Б до моста = \(\frac{S}{160} \times (X - 9 \text{ч } 00 \text{мин})\).

Сумма этих расстояний равна \(S\).

\(\frac{S}{192} \times (X - 10 \times 60 - 18) + \frac{S}{160} \times (X - 9 \times 60) = S\)

Сократим \(S\):

\(\frac{X - 618}{192} + \frac{X - 540}{160} = 1\)

Общий знаменатель для 192 и 160: \(192 = 64 \times 3\), \(160 = 32 \times 5 = 64 \times 2.5\). \(192 = 2^6 \times 3\), \(160 = 2^5 \times 5\). НОК = \(2^6 \times 3 \times 5 = 64 \times 15 = 960\).

\(\frac{5(X - 618)}{960} + \frac{6(X - 540)}{960} = 1\)

\(5X - 3090 + 6X - 3240 = 960\)

\(11X - 6330 = 960\)

\(11X = 960 + 6330 = 7290\)

\(X = \frac{7290}{11} \approx 662.73 \text{ минут}\).

Теперь учтём, что Андрей ушёл с моста на 1 минуту позже Бориса. Это значит, что время, которое они провели на мосту, отличается на 1 минуту. Если Борис потратил \(t_{мост}\) на переход моста, то Андрей потратил \(t_{мост}+1\).

Пусть \(t_{подошли}\) — время, когда они подошли к мосту. Пусть \(t_{ушли}\) — время, когда они ушли с моста.

Для Бориса: \(t_{ушли_Б} = t_{подошли} + t_{мост_Б}\).

Для Андрея: \(t_{ушли_А} = t_{подошли} + t_{мост_А}\).

Условие: \(t_{ушли_А} = t_{ушли_Б} + 1 \text{ мин}\).

\(t_{подошли} + t_{мост_А} = t_{подошли} + t_{мост_Б} + 1 \text{ мин}\).

\(t_{мост_А} = t_{мост_Б} + 1 \text{ мин}\).

Пусть \(t\) — время в минутах от начала своего пути до моста.

Время Андрея до моста: \(t_A\). Время Бориса до моста: \(t_B\).

\(t_A = \frac{S_A}{v_A} = \frac{S_A}{S/192} = \frac{192 S_A}{S}\).

\(t_B = \frac{S_B}{v_B} = \frac{S_B}{S/160} = \frac{160 S_B}{S}\).

\(S_A + S_B = S\).

\(\frac{192 S_A}{S} + \frac{160 S_B}{S} = \text{время от выхода до моста}\).

Пусть \(t\) — время в минутах от начала суток, когда они подошли к мосту.

\(t - (10 \times 60 + 18) = t_A\) — время Андрея до моста.

\(t - (9 \times 60) = t_B\) — время Бориса до моста.

\(\frac{S_A}{S} = \frac{t_A}{192}\), \(\frac{S_B}{S} = \frac{t_B}{160}\).

\(\frac{t_A}{192} + \frac{t_B}{160} = 1\).

\(t_A = t - 618\), \(t_B = t - 540\).

\(\frac{t - 618}{192} + \frac{t - 540}{160} = 1\)

\(5(t - 618) + 6(t - 540) = 960\)

\(5t - 3090 + 6t - 3240 = 960\)

\(11t = 960 + 3090 + 3240 = 7290\)

\(t = \frac{7290}{11} \approx 662.73 \text{ минут}\).

Это время, когда они подошли к мосту. \(662.73 \text{ мин} = 11 \text{ ч } 2 \text{ мин } 43.8 \text{ сек}\).

Но условие: Андрей ушёл с моста на 1 минуту позже Бориса. Это значит, что время, которое они провели на мосту, отличается на 1 минуту.

Пусть \(t_{подход}\) — время, когда они подошли к мосту (одно и то же для обоих). Пусть \(t_{уход_Б}\) и \(t_{уход_А}\) — время, когда они ушли с моста.

\(t_{уход_А} = t_{уход_Б} + 1\).

Время на мосту для Бориса: \(t_{уход_Б} - t_{подход}\).

Время на мосту для Андрея: \(t_{уход_А} - t_{подход}\).

\((t_{уход_Б} + 1) - t_{подход} = (t_{уход_Б} - t_{подход}) + 1\).

Это не помогает, потому что время на мосту не дано.

Прочитаем внимательно: "Андрей и Борис одновременно подошли к мосту через эту реку, каждый со своей стороны. Андрей ушёл с моста на одну минуту позже Бориса."

Это означает, что время, которое они провели НА мосту, отличается на 1 минуту. Это не означает, что время, которое они потратили до моста, отличается на 1 минуту. Они подошли одновременно.

Пусть \(t_{мост}\) — время, когда они подошли к мосту (от начала суток).

Время от выхода А до моста = \(t_{мост} - 10:18\).

Время от выхода Б до моста = \(t_{мост} - 9:00\).

\(\frac{S_A}{S/192} = t_{мост} - 618\).

\(\frac{S_B}{S/160} = t_{мост} - 540\).

\(S_A = S \frac{t_{мост} - 618}{192}\).

\(S_B = S \frac{t_{мост} - 540}{160}\).

\(S_A + S_B = S \rightarrow \frac{t_{мост} - 618}{192} + \frac{t_{мост} - 540}{160} = 1\).

\(5(t_{мост} - 618) + 6(t_{мост} - 540) = 960\).

\(5t_{мост} - 3090 + 6t_{мост} - 3240 = 960\).

\(11t_{мост} = 960 + 3090 + 3240 = 7290\).

\(t_{мост} = \frac{7290}{11} ≈ 662.73 \text{ минут}\).

\(662 \text{ мин} = 11 \text{ ч } 2 \text{ мин}\). \(0.73 \times 60 ≈ 44\) секунд.

\(11 \text{ ч } 02 \text{ мин } 44 \text{ сек}\).

Теперь проверим условие про уход с моста. Если они подошли одновременно, и Андрей ушел на 1 минуту позже Бориса, это означает, что время, проведенное на мосту, отличается на 1 минуту. Но это не влияет на время подхода к мосту.

Задача, вероятно, содержит ошибку в условии или требует более глубокого физического моделирования.

Если предположить, что "Андрей ушёл с моста на одну минуту позже Бориса" относится к общему времени пути от А до Б и от Б до А соответственно, то это было бы другое условие.

Но формулировка "подошли к мосту одновременно" и "ушёл с моста на одну минуту позже" прямо указывает на момент подхода.

Возможно, время, проведенное на мосту, учитывается в общем времени пути. Но тогда они не подошли бы одновременно.

Давайте ещё раз: Андрей вышел в 10:18, пришел в 13:30 (192 мин). Борис вышел в 9:00, пришел в 11:40 (160 мин).

Пусть \(t\) — время в минутах от начала суток, когда они подошли к мосту. Время в пути от А до моста = \(t - 618\). Время в пути от Б до моста = \(t - 540\).

\(\frac{t-618}{192} + \frac{t-540}{160} = 1\). Получили \(t = 662.73\) минут.

\(11 \text{ ч } 02 \text{ мин } 44 \text{ сек}\).

Перечитаем внимательно:

"Андрей и Борис одновременно подошли к мосту через эту реку, каждый со своей стороны." - это ключевое.

"Андрей ушёл с моста на одну минуту позже Бориса." - это могло бы означать, что время, проведенное на мосту, различно.

Если бы задача была: "Время, которое они потратили на переход реки, отличалось на 1 минуту", это было бы другим.

С такой формулировкой, как есть, время подхода к мосту - это \(t = 662.73 \text{ мин}\).

\(662.73 ≈ 11 \text{ часов } 2.73 \text{ минуты}\).

\(0.73 \times 60 ≈ 44 \text{ секунды}\).

\(11:02:44\).

Проверим, если это время, то:

Андрей до моста: \(11:02:44 - 10:18:00 = 44 \text{ мин } 44 \text{ сек} ≈ 44.73 \text{ мин}\).

Борис до моста: \(11:02:44 - 9:00:00 = 2 \text{ ч } 2 \text{ мин } 44 \text{ сек} ≈ 122.73 \text{ мин}\).

\(S_A = \frac{192}{192} \times 44.73 = 44.73 \text{ (доли S)}\).

\(S_B = \frac{160}{160} \times 122.73 = 122.73 \text{ (доли S)}\).

\(S_A + S_B = 44.73 + 122.73 = 167.46
e 1\). Это не совпадает. Расчёты через доли S были верными.

\(\frac{t-618}{192} + \frac{t-540}{160} = 1\) — это уравнение верно, если \(t\) — время в минутах от начала суток, когда они подошли к мосту, и \(S_A/S\) и \(S_B/S\) — доли расстояния.

\(t = 662.73 \text{ минут}\).

\(662.73 \text{ мин} = 11 \text{ часов } 2.73 \text{ минуты}\).

\(11 \text{ ч } 02 \text{ мин } (0.73 \times 60 \text{ сек}) ≈ 11 \text{ ч } 02 \text{ мин } 44 \text{ сек}\).

Это время, когда они подошли к мосту.

Проверим: если они подошли к мосту в \(11:02:44\).

Андрей до моста: \(11:02:44 - 10:18:00 = 44 \text{ мин } 44 \text{ сек} = 44.73 \text{ мин}\).

Борис до моста: \(11:02:44 - 9:00:00 = 2 \text{ ч } 2 \text{ мин } 44 \text{ сек} = 122.73 \text{ мин}\).

Доля пути Андрея до моста: \(\frac{44.73}{192} ≈ 0.233\).

Доля пути Бориса до моста: \(\frac{122.73}{160} ≈ 0.767\).

\(0.233 + 0.767 = 1\).

Это значит, что они подошли к мосту, когда Андрей прошел \(\approx 23.3\)% пути, а Борис \(\approx 76.7\)% пути. Расстояние от А до моста \(\approx 23.3\)% от \(S\), расстояние от Б до моста \(\approx 76.7\)% от \(S\).

Итак, время подхода к мосту: \(11 \text{ ч } 02 \text{ мин } 44 \text{ сек}\).

Теперь про уход с моста. Андрей ушёл на 1 минуту позже Бориса. Это не влияет на время подхода. Задача решается только по условию одновременного подхода.

Ответ: Они подошли к мосту одновременно в 11:02:44.