272. Упростите выражение: а) \(\frac{x^3+y^3}{(x-y)^2} + \frac{3xy^2-y^3}{(y-x)^2} + \frac{3x^2y+y^3}{2xy-x^2-y^2}\); б) \(\frac{a-1}{2a+2} + \frac{a+1}{3-3a} + \frac{5a^3-1}{3a^2-3}\)

Решение:

а) Упростим выражение:

1. Приведём к общему знаменателю. Заметим, что \((y-x)^2 = (x-y)^2\) и \(2xy-x^2-y^2 = -(x^2-2xy+y^2) = -(x-y)^2\).
2. \(\frac{x^3+y^3}{(x-y)^2} + \frac{3xy^2-y^3}{(x-y)^2} - \frac{3x^2y+y^3}{(x-y)^2}\)
3. \(\frac{x^3+y^3+3xy^2-y^3-3x^2y-y^3}{(x-y)^2}\)
4. \(\frac{x^3-3x^2y+3xy^2-y^3}{(x-y)^2}\)
5. \(\frac{(x-y)^3}{(x-y)^2}\)
6. \(x-y\)

б) Упростим выражение:

1. Разложим знаменатели на множители: \(2a+2 = 2(a+1)\), \(3-3a = -3(a-1)\), \(3a^2-3 = 3(a^2-1) = 3(a-1)(a+1)\).
2. \(\frac{a-1}{2(a+1)} + \frac{a+1}{-3(a-1)} + \frac{5a^3-1}{3(a-1)(a+1)}\).
3. \(\frac{a-1}{2(a+1)} - \frac{a+1}{3(a-1)} + \frac{5a^3-1}{3(a-1)(a+1)}\).
4. Общий знаменатель: \(6(a-1)(a+1)\).
5. \(\frac{3(a-1)(a-1)}{6(a-1)(a+1)} - \frac{2(a+1)(a+1)}{6(a-1)(a+1)} + \frac{2(5a^3-1)}{6(a-1)(a+1)}\).
6. \(\frac{3(a^2-2a+1) - 2(a^2+2a+1) + 10a^3-2}{6(a-1)(a+1)}\).
7. \(\frac{3a^2-6a+3 - 2a^2-4a-2 + 10a^3-2}{6(a-1)(a+1)}\).
8. \(\frac{10a^3 + a^2 - 10a - 1}{6(a-1)(a+1)}\).

Ответ: а) \(x-y\); б) \(\frac{10a^3 + a^2 - 10a - 1}{6(a-1)(a+1)}\).