27. Сторона основания правильной треугольной призмы равна 12 см, а диагональ боковой грани равна 13 см. Найдите боковую поверхность призмы.

Решение:

Боковая поверхность призмы \( S_{бок} \) равна произведению периметра основания \( P_{осн} \) на высоту призмы \( h \): \( S_{бок} = P_{осн} \cdot h \).

1. Найдем периметр основания:

Основание — правильный треугольник со стороной \( a = 12 \) см.

\[ P_{осн} = 3a = 3 \cdot 12 = 36 \) см.

2. Найдем высоту призмы \( h \):

Боковая грань призмы — это прямоугольник. Диагональ боковой грани, сторона основания и высота призмы образуют прямоугольный треугольник.

Диагональ боковой грани \( d = 13 \) см, сторона основания \( a = 12 \) см (это одна сторона прямоугольника).

По теореме Пифагора:

\[ a^2 + h^2 = d^2 \]

\[ 12^2 + h^2 = 13^2 \]

\[ 144 + h^2 = 169 \]

\[ h^2 = 169 - 144 = 25 \]

\[ h = \(\sqrt{25}\) = 5 \) см.

3. Найдем боковую поверхность призмы:

\[ S_{бок} = P_{осн} \(\cdot\) h = 36 \(\cdot\) 5 = 180 \) см².

Ответ: 180 см².