26. Точки М и N являются серединами сторон АВ и ВС треугольника АВС соответственно. Отрезки AN и СМ пересекаются в точке O, AN=36, CM=30. Найдите АО.

Решение:

Точки M и N — середины сторон AB и BC соответственно. Следовательно, AN и CM — медианы треугольника ABC.

Точка их пересечения O является центром тяжести треугольника.

Медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся ею в отношении 2:1, считая от вершины.

Для медианы AN:

\( AO : ON = 2:1 \)

Общая длина медианы AN = 36.

Разделим медиану AN на 3 части (2+1):

\( AO = \frac{2}{3} AN \)

\[ AO = \frac{2}{3} \cdot 36 \]

\[ AO = 2 \cdot 12 = 24 \]

Для медианы CM:

\( CO : OM = 2:1 \)

Общая длина медианы CM = 30.

\( CO = \frac{2}{3} CM = \frac{2}{3} \cdot 30 = 20 \)

\( OM = \frac{1}{3} CM = \frac{1}{3} \cdot 30 = 10 \)

Нас просят найти AO.

Ответ: 24