25. Две окружности с центрами О1 и О3 и радиусами 4,5 и 2,5 касаются друг с другом внешним образом и внутренним образом касаются окружности с центром О2 радиусом 7,5. Найдите угол О1О2О3.

Решение:

Дано:

• Окружность 1: центр O₁, радиус r₁ = 4.5.
• Окружность 3: центр O₃, радиус r₃ = 2.5.
• Окружность 2: центр O₂, радиус r₂ = 7.5.

Окружности 1 и 3 касаются внешним образом. Расстояние между их центрами равно сумме радиусов: O₁O₃ = r₁ + r₃ = 4.5 + 2.5 = 7.

Окружность 1 касается окружности 2 внутренним образом. Расстояние между их центрами равно разности радиусов: O₁O₂ = |r₂ - r₁| = |7.5 - 4.5| = 3.

Окружность 3 касается окружности 2 внутренним образом. Расстояние между их центрами равно разности радиусов: O₂O₃ = |r₂ - r₃| = |7.5 - 2.5| = 5.

Рассмотрим треугольник ΔO₁O₂O₃ со сторонами:

• O₁O₃ = 7
• O₁O₂ = 3
• O₂O₃ = 5

Проверим, является ли этот треугольник прямоугольным, используя теорему, обратную теореме Пифагора. Сумма квадратов двух меньших сторон должна быть равна квадрату большей стороны.

(O₁O₂)² + (O₂O₃)² = 3² + 5² = 9 + 25 = 34.

(O₁O₃)² = 7² = 49.

Так как 34 ≠ 49, треугольник ΔO₁O₂O₃ не является прямоугольным.

Возможно, в условии задачи есть неточность, или же окружности расположены иначе.

Если предположить, что окружности 1 и 3 касаются внешним образом, а окружность 2 касается их обеих внутренним образом, то рассмотренные расстояния верны.

Давайте ещё раз проверим условие: «Две окружности с центрами О1 и О3 и радиусами 4,5 и 2,5 касаются друг с другом внешним образом и внутренним образом касаются окружности с центром О2 радиусом 7,5».

Это значит, что окружность с центром O2 является самой большой, а окружности с центрами O1 и O3 находятся внутри неё.

O₁O₂ = 7.5 - 4.5 = 3

O₂O₃ = 7.5 - 2.5 = 5

O₁O₃ = 4.5 + 2.5 = 7

В треугольнике O₁O₂O₃ стороны равны 3, 5, 7.

Проверим, является ли треугольник прямоугольным. Заметим, что 3 + 5 = 8 ≠ 7 (неравенство треугольника выполняется, но сумма двух сторон равна большей стороне, что означало бы, что точки лежат на одной прямой, если бы это было 3+5=7, а не 3+5=8).

Однако, если одна из сторон равна сумме двух других, то точки лежат на одной прямой. Это происходит, когда одна окружность является касательной к другой окружности, при этом центр третьей окружности лежит на линии, соединяющей центры первых двух.

В нашем случае, O₁O₂ + O₂O₃ = 3 + 5 = 8, что не равно O₁O₃ = 7.

Также O₁O₃ + O₁O₂ = 7 + 3 = 10 ≠ 5.

И O₁O₃ + O₂O₃ = 7 + 5 = 12 ≠ 3.

Следовательно, точки O₁, O₂, O₃ образуют невырожденный треугольник.

Для того чтобы найти угол ∠O₁O₂O₃, воспользуемся теоремой косинусов:

(O₁O₃)² = (O₁O₂)² + (O₂O₃)² - 2 * O₁O₂ * O₂O₃ * cos(∠O₁O₂O₃)

7² = 3² + 5² - 2 * 3 * 5 * cos(∠O₁O₂O₃)

49 = 9 + 25 - 30 * cos(∠O₁O₂O₃)

49 = 34 - 30 * cos(∠O₁O₂O₃)

49 - 34 = -30 * cos(∠O₁O₂O₃)

15 = -30 * cos(∠O₁O₂O₃)

cos(∠O₁O₂O₃) = 15 / -30 = -0.5.

Угол, косинус которого равен -0.5, равен 120°.

Ответ: Угол O₁O₂O₃ равен 120°.