24. В окружности с центром О проведены две хорды АВ и CD так, что центральные углы АОВ и COD равны. На эти хорды опущены перпендикуляры ОК и OL. Докажите, что ОК и OL равны.

Решение:

Рассмотрим треугольники ΔAOB и ΔCOD.

По условию, центральные углы ∠AOB и ∠COD равны.

Так как OA, OB, OC, OD — радиусы одной окружности, то OA = OB = OC = OD.

По двум сторонам и углу между ними (II признак равенства треугольников), ΔAOB = ΔCOD.

Следовательно, хорды AB и CD равны.

Теперь рассмотрим прямоугольные треугольники ΔAOK и ΔCOL.

OK — перпендикуляр к хорде AB, OL — перпендикуляр к хорде CD.

В прямоугольном треугольнике, перпендикуляр, опущенный из центра окружности на хорду, делит её пополам. Поэтому AK = KB = AB/2 и CL = LD = CD/2.

Так как AB = CD, то AK = CL.

В прямоугольных треугольниках ΔAOK и ΔCOL:

• OA = OC (радиусы окружности).
• AK = CL (половины равных хорд).

По двум катетам (I признак равенства прямоугольных треугольников), ΔAOK = ΔCOL.

Следовательно, соответствующие стороны этих треугольников равны: OK = OL.

Что и требовалось доказать.