23. Прямая, параллельная стороне АС треугольника АВС, пересекает сто- роны АВ и ВС в точках М и № соответственно. Найдите BN, если MN=12, AC=42, NC=25.

Краткое пояснение:

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: По условию, прямая MN параллельна стороне AC (Ⅳ MN || AC).
2. Шаг 2: Так как MN || AC, то треугольник MBN подобен треугольнику ABC по двум углам (угол B общий, и углы ∠BMN = ∠BAC, ∠BNM = ∠BCA как соответственные при параллельных прямых и секущих AB и BC).
3. Шаг 3: Из подобия треугольников следует соотношение их сторон: \( \frac{MB}{AB} = \frac{BN}{BC} = \frac{MN}{AC} \).
4. Шаг 4: Подставим известные значения: MN = 12, AC = 42.
5. Шаг 5: Нам нужно найти BN. Вспомним, что BC = BN + NC.
6. Шаг 6: Используем соотношение: \( \frac{BN}{BC} = \frac{MN}{AC} \).
   \( \frac{BN}{BN + NC} = \frac{12}{42} \).
7. Шаг 7: Подставим значение NC = 25: \( \frac{BN}{BN + 25} = \frac{12}{42} \).
8. Шаг 8: Упростим дробь \( \frac{12}{42} \) до \( \frac{2}{7} \).
9. Шаг 9: Получаем уравнение: \( \frac{BN}{BN + 25} = \frac{2}{7} \).
10. Шаг 10: Решим уравнение: 7 × BN = 2 × (BN + 25).
    7 × BN = 2 × BN + 50.
    7 × BN - 2 × BN = 50.
    5 × BN = 50.
    BN = \( \frac{50}{5} \) = 10.

Ответ: 10