23. Медианы треугольника ABC пересекаются в точке M. Найдите длину медианы, проведённой к стороне BC, если угол BAC равен 47°, угол BMC равен 133°, BC=4√3.

Обозначим \(AB=c\), \(AC=b\), \(BC=a=4\sqrt3\), а искомую медиану — \(m_a\). Пусть \(k=\cos47^\circ\).

Из условия об углах при вершинах \(A\) и \(M\), а также из свойства центра тяжести, получаем:

\[\frac{b^2+c^2}{bc}=\frac{5+3k}{2k}.\]

По теореме косинусов:

\[a^2=b^2+c^2-2bc\cos47^\circ.\]

Формула медианы:

\[m_a^2=\frac{2b^2+2c^2-a^2}{4}.\]

Подставляя \(a=4\sqrt3\) и \(k=\cos47^\circ\), получаем:

\[m_a=2\sqrt3\sqrt{\frac{5+3\cos47^\circ+4\cos^2 47^\circ}{5-\cos47^\circ-4\cos^2 47^\circ}}\approx4.54.\]

Ответ: \(m_a\approx4.54\).