22. Постройте график функции $$y = |x|(x+3) - 5x$$. Определите, при каких значениях $$m$$ прямая $$y=m$$ имеет с графиком ровно две общие точки.

Решение:

Рассмотрим два случая для модуля $$|x|$$:

1. Случай 1: $$x ≥ 0$$

   В этом случае $$|x| = x$$. Функция примет вид:

   $$y = x(x+3) - 5x = x^2 + 3x - 5x = x^2 - 2x$$.

   Это парабола, ветви вверх. Вершина параболы находится в точке $$x = -\frac{-2}{2 \cdot 1} = 1$$. Значение $$y$$ в вершине: $$y = 1^2 - 2 · 1 = 1 - 2 = -1$$. Вершина: $$(1, -1)$$.

2. Случай 2: $$x < 0$$

   В этом случае $$|x| = -x$$. Функция примет вид:

   $$y = -x(x+3) - 5x = -(x^2 + 3x) - 5x = -x^2 - 3x - 5x = -x^2 - 8x$$.

   Это парабола, ветви вниз. Вершина параболы находится в точке $$x = -\frac{-8}{2 · (-1)} = -4$$. Значение $$y$$ в вершине: $$y = -(-4)^2 - 8 · (-4) = -16 + 32 = 16$$. Вершина: $$(-4, 16)$$.

График функции:

Анализ для определения значений $$m$$:

Прямая $$y = m$$ — это горизонтальная линия. Чтобы она имела ровно две общие точки с графиком, она должна проходить через:

• Вершину параболы с ветвями вниз (точка $$(-4, 16)$$), то есть $$m = 16$$.
• Точку пересечения двух частей параболы (когда $$x=0$$, $$y=0$$), то есть $$m=0$$.
• Значения $$y$$ ниже вершины параболы с ветвями вверх ($$y = -1$$), но выше точки пересечения $$(0,0)$$ и левее вершины $$(-4,16)$$.

Рассмотрим более внимательно:

• Если $$m = 16$$, прямая $$y=16$$ касается вершины параболы $$y = -x^2 - 8x$$ в точке $$(-4, 16)$$. Также она пересекает другую часть параболы $$y = x^2 - 2x$$ в двух точках (что нам не подходит).
• Если $$m = 0$$, прямая $$y=0$$ пересекает график в точке $$(0,0)$$ и в точке, где $$-x^2 - 8x = 0$$, то есть $$x(-x-8)=0$$, $$x=0$$ или $$x=-8$$. То есть в двух точках: $$(0,0)$$ и $$(-8,0)$$.
• Нам нужно ровно две точки. Рассмотрим, когда прямая $$y=m$$ пересекает обе части графика.

На графике видно, что:

• Если $$m > 16$$, прямая не пересекает график.
• Если $$m = 16$$, прямая касается вершины $$(-4, 16)$$ и пересекает правую ветвь. Это две точки.
• Если $$0 < m < 16$$, прямая пересекает обе ветви параболы, то есть 4 точки.
• Если $$m = 0$$, прямая проходит через $$(0,0)$$ и $$(-8,0)$$, то есть две точки.
• Если $$-1 < m < 0$$, прямая пересекает обе ветви, то есть 4 точки.
• Если $$m = -1$$, прямая касается вершины $$(1, -1)$$ и пересекает левую ветвь в точке, где $$-x^2-8x=-1$$. $$x^2+8x-1=0$$, $$x=rac{-8 ± √{64+4}}{2} = -4 ± √{17}$$. Две точки.
• Если $$m < -1$$, прямая пересекает левую ветвь в двух точках.

Таким образом, прямая $$y=m$$ имеет ровно две общие точки с графиком, когда:

• $$m = 16$$ (касание вершины $$(-4, 16)$$ и пересечение правой ветви)
• $$m = 0$$ (пересечение в $$(0,0)$$ и $$(-8,0)$$)
• $$m = -1$$ (касание вершины $$(1, -1)$$ и пересечение левой ветви)

Ответ: 16, 0, -1