22. Постройте график функции y=|x²+6x+5|. Какое наибольшее число общих точек график данной функции может иметь с прямой, параллельной оси абсцисс?

Решение:

Сначала построим график функции \( y = x^2 + 6x + 5 \).

1. Найдем вершину параболы:
   Координата \( x_0 = \frac{-b}{2a} = \frac{-6}{2 \cdot 1} = -3 \).
   Координата \( y_0 = (-3)^2 + 6(-3) + 5 = 9 - 18 + 5 = -4 \).
   Вершина параболы находится в точке \( (-3; -4) \).
2. Найдем точки пересечения с осью абсцисс (y=0):
   \( x^2 + 6x + 5 = 0 \)
   \( D = 6^2 - 4 · 1 · 5 = 36 - 20 = 16 \)
   \( x_1 = \frac{-6 + \sqrt{16}}{2} = \frac{-6 + 4}{2} = -1 \)
   \( x_2 = \frac{-6 - \sqrt{16}}{2} = \frac{-6 - 4}{2} = -5 \).
   Точки пересечения с осью x: \( (-1; 0) \) и \( (-5; 0) \).
3. График функции \( y = |x^2 + 6x + 5| \):
   Часть графика \( y = x^2 + 6x + 5 \), которая находится ниже оси абсцисс (где \( y < 0 \)), зеркально отражается вверх относительно оси абсцисс. Таким образом, минимальное значение функции будет 0 (в точках -1 и -5), а точка \( (-3; -4) \) станет \( (-3; 4) \).

Построение графика:

Анализ пересечений с прямой, параллельной оси абсцисс (y = k):

Прямая, параллельная оси абсцисс, имеет вид \( y = k \), где \( k \) — константа.

Рассмотрим возможные значения \( k \):

• Если \( k < 0 \), прямая \( y=k \) не пересекает график \( y=|x^2+6x+5| \) (так как значения функции неотрицательны). Число точек пересечения = 0.
• Если \( k = 0 \), прямая \( y=0 \) (ось абсцисс) пересекает график в точках \( (-5; 0) \) и \( (-1; 0) \). Число точек пересечения = 2.
• Если \( 0 < k < 4 \), прямая \( y=k \) пересекает график в четырех точках.
• Если \( k = 4 \), прямая \( y=4 \) пересекает график в трех точках (две точки, где \( x^2+6x+5 = 4 \) и одна точка \( (-3; 4) \), являющаяся вершиной преобразованной параболы).
• Если \( k > 4 \), прямая \( y=k \) пересекает график в двух точках.

Наибольшее число общих точек графика \( y=|x^2+6x+5| \) с прямой \( y=k \) равно 4.

Ответ: 4