22. Постройте график функции y= (x²-10x+9)/(|x-1||x+3|) и определите, при каких значениях m прямая y=m имеет с графиком ровно одну общую точку.

Решение:

1. Анализ функции:
Функция задана как \( y = \frac{x^2 - 10x + 9}{|x-1||x+3|} \).
Найдем корни числителя: \( x^2 - 10x + 9 = 0 \). По теореме Виета: \( x_1 + x_2 = 10 \), \( x_1 x_2 = 9 \). Корни: \( x_1 = 1 \), \( x_2 = 9 \).
Таким образом, числитель можно разложить: \( x^2 - 10x + 9 = (x-1)(x-9) \).
Знаменатель: \( |x-1||x+3| = |(x-1)(x+3)| = |x^2 + 2x - 3| \).

2. Определение области определения:
Знаменатель не должен быть равен нулю: \( |x-1||x+3| \neq 0 \), что означает \( x \neq 1 \) и \( x \neq -3 \).

3. Упрощение функции в зависимости от знака выражений в модуле:
Рассмотрим интервалы, определяемые корнями \( x=1 \) и \( x=-3 \):

а) Интервал \( x > 1 \):
В этом случае \( x-1 > 0 \) и \( x+3 > 0 \).
\( |x-1| = x-1 \), \( |x+3| = x+3 \).
\( y = \frac{(x-1)(x-9)}{(x-1)(x+3)} = \frac{x-9}{x+3} \) (при \( x \neq 1 \)).
Имеем гиперболу \( y = \frac{x-9}{x+3} \) с выколотой точкой при \( x=1 \).
Найдем значение \( y \) при \( x=1 \) для этой части: \( y = \frac{1-9}{1+3} = \frac{-8}{4} = -2 \).
То есть, при \( x=1 \) функция не определена, но её 'предельное' значение равно -2.

б) Интервал \( -3 < x < 1 \):
В этом случае \( x-1 < 0 \) и \( x+3 > 0 \).
\( |x-1| = -(x-1) \), \( |x+3| = x+3 \).
\( y = \frac{(x-1)(x-9)}{-(x-1)(x+3)} = \frac{x-9}{-(x+3)} = \frac{9-x}{x+3} \).

в) Интервал \( x < -3 \):
В этом случае \( x-1 < 0 \) и \( x+3 < 0 \).
\( |x-1| = -(x-1) \), \( |x+3| = -(x+3) \).
\( y = \frac{(x-1)(x-9)}{(-(x-1))(-(x+3))} = \frac{(x-1)(x-9)}{(x-1)(x+3)} = \frac{x-9}{x+3} \) (при \( x \neq 1 \)).

4. Построение графика:

График на интервале \( x > 1 \) и \( x < -3 \): \( y = \frac{x-9}{x+3} \).
Это гипербола. Найдем асимптоты:
Вертикальная асимптота: \( x = -3 \).
Горизонтальная асимптота: \( y = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{x-9}{x+3} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{1 - 9/x}{1 + 3/x} = 1 \).
На интервале \( x > 1 \), график имеет вид гиперболы, но с выколотой точкой (1, -2).

График на интервале \( -3 < x < 1 \): \( y = \frac{9-x}{x+3} \).
Вертикальная асимптота: \( x = -3 \).
Горизонтальная асимптота: \( y = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{9-x}{x+3} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{9/x - 1}{1 + 3/x} = -1 \).

5. Определение точек пересечения с осью Ox:
\( y = 0 \) ⇒ \( x-9 = 0 \) (для \( x>1 \) и \( x<-3 \)) ⇒ \( x=9 \).
\( y = 0 \) ⇒ \( 9-x = 0 \) (для \( -3 < x < 1 \)) ⇒ \( x=9 \), но эта точка не входит в интервал \( (-3, 1) \).
Итого, график пересекает ось Ox в точке \( (9, 0) \).

6. Определение точек пересечения с осью Oy:
При \( x=0 \) (это интервал \( -3 < x < 1 \)): \( y = \frac{9-0}{0+3} = \frac{9}{3} = 3 \). Точка \( (0, 3) \).

7. Определение значений m, при которых прямая y=m имеет ровно одну общую точку:
Прямая \( y=m \) — горизонтальная прямая.

Рассмотрим поведение графика:

• Горизонтальная асимптота y = 1 (для \( x > 1 \) и \( x < -3 \)). Если \( m = 1 \), прямая \( y=1 \) будет пересекать график в двух точках (по одной на каждом интервале, где \( y = \frac{x-9}{x+3} \)).
• Горизонтальная асимптота y = -1 (для \( -3 < x < 1 \)). Если \( m = -1 \), прямая \( y=-1 \) будет пересекать график в одной точке на интервале \( (-3, 1) \).
• Выколотая точка (1, -2). Если \( m = -2 \), прямая \( y = -2 \) будет пересекать график в одной точке (на интервале \( x<-3 \) для \( y = \frac{x-9}{x+3} \)).
• Точка пересечения с осью Ox: (9, 0). Если \( m = 0 \), прямая \( y=0 \) пересекает график в одной точке \( (9, 0) \).
• Точка пересечения с осью Oy: (0, 3). Если \( m = 3 \), прямая \( y=3 \) пересекает график в одной точке \( (0, 3) \) на интервале \( (-3, 1) \) и, возможно, еще где-то на других интервалах. Надо проверить:
  Для \( y = \frac{x-9}{x+3} \): \( 3 = \frac{x-9}{x+3} \) ⇒ \( 3x + 9 = x - 9 \) ⇒ \( 2x = -18 \) ⇒ \( x = -9 \). Эта точка \( (-9, 3) \) находится на интервале \( x < -3 \).
  Таким образом, при \( m=3 \) прямая пересекает график в двух точках.

Итак, прямая \( y=m \) будет иметь ровно одну общую точку, когда:

• \( m = -1 \) (пересекает только ветку \( y = \frac{9-x}{x+3} \) на интервале \( (-3, 1) \), так как \( y=1 \) — горизонтальная асимптота для этой ветки, а \( y=-1 \) — асимптота для другой.)
• \( m = -2 \) (это значение \( y \) в выколотой точке \( x=1 \). Прямая \( y=-2 \) пересечет ветку \( y = \frac{x-9}{x+3} \) для \( x < -3 \) в одной точке, и будет проходить через выколотую точку, не являясь её частью.)
• \( m = 0 \) (пересекает график в точке \( (9, 0) \).)

График функции:

Значения m, при которых прямая y=m имеет ровно одну общую точку:

• m = -2 (прямая проходит через выколотую точку, но не является частью графика).
• m = -1 (прямая совпадает с горизонтальной асимптотой одной из ветвей гиперболы).
• m = 0 (прямая проходит через точку пересечения с осью Ox).

Ответ: m = -2, m = -1, m = 0.