22. Постройте график функции у = |x-3|- |x+3| и найдите все значения к, при которых прямая у=кх имеет с графиком данной функции ровно одну общую точку.

Чтобы построить график функции y = |x-3| - |x+3|, нужно рассмотреть три случая в зависимости от знаков выражений под модулями.

1. Определим точки, в которых выражения под модулями обращаются в ноль:

• x - 3 = 0 => x = 3
• x + 3 = 0 => x = -3

Эти точки делят числовую прямую на три интервала: (-∞, -3], (-3, 3), [3, +∞).

2. Рассмотрим каждый интервал:

Случай 1: x ≤ -3

• x - 3 отрицательно, |x - 3| = -(x - 3) = 3 - x
• x + 3 отрицательно, |x + 3| = -(x + 3) = -x - 3
• Тогда y = (3 - x) - (-x - 3) = 3 - x + x + 3 = 6

Случай 2: -3 < x < 3

• x - 3 отрицательно, |x - 3| = -(x - 3) = 3 - x
• x + 3 положительно, |x + 3| = x + 3
• Тогда y = (3 - x) - (x + 3) = 3 - x - x - 3 = -2x

Случай 3: x ≥ 3

• x - 3 положительно, |x - 3| = x - 3
• x + 3 положительно, |x + 3| = x + 3
• Тогда y = (x - 3) - (x + 3) = x - 3 - x - 3 = -6

3. Функция имеет вид:

y = { 6, если x ≤ -3

{ -2x, если -3 < x < 3

{ -6, если x ≥ 3

4. Построим график функции:

• При x ≤ -3, y = 6. Это горизонтальная линия, начинающаяся в точке (-3, 6) и идущая влево.
• При -3 < x < 3, y = -2x. Это отрезок прямой, проходящий через начало координат (0,0). При x = -3, y = -2*(-3) = 6 (точка (-3, 6)). При x = 3, y = -2*3 = -6 (точка (3, -6)).
• При x ≥ 3, y = -6. Это горизонтальная линия, начинающаяся в точке (3, -6) и идущая вправо.

График представляет собой три отрезка: горизонтальный луч y=6 слева от x=-3, отрезок y=-2x от (-3, 6) до (3, -6), и горизонтальный луч y=-6 справа от x=3.

5. Найдем значения k, при которых прямая y = kx имеет с графиком ровно одну общую точку.

Прямая y = kx всегда проходит через начало координат (0, 0). Нам нужно, чтобы эта прямая пересекала график нашей функции только в одной точке.

• Рассмотрим случай, когда прямая проходит через точку (-3, 6).
• Подставим координаты этой точки в уравнение y = kx:
• 6 = k * (-3)
• k = 6 / (-3) = -2
• Когда k = -2, прямая y = -2x совпадает с отрезком графика функции на интервале (-3, 3). Это означает бесконечное множество точек пересечения. Так что k = -2 не подходит.
• Рассмотрим случай, когда прямая проходит через точку (3, -6).
• Подставим координаты этой точки в уравнение y = kx:
• -6 = k * 3
• k = -6 / 3 = -2
• Опять получаем k = -2.
• Теперь подумаем, когда прямая y = kx пересечет график ровно в одной точке.
• Начало координат (0, 0) находится на графике функции (на отрезке y = -2x).
• Если прямая y = kx проходит через (0,0), она уже имеет одну общую точку с графиком.
• Нам нужно, чтобы она не пересекала горизонтальные лучи y = 6 (для x ≤ -3) и y = -6 (для x ≥ 3) в других точках, кроме, возможно, крайних.
• Если k > 0, прямая y = kx будет проходить через начало координат и уходить вверх в первую и вниз в третью четверть. Она пересечет график функции только в точке (0,0), так как горизонтальные лучи y=6 и y=-6 находятся выше и ниже начала координат.
• Если k < 0, прямая y = kx будет проходить через начало координат и уходить вниз в четвертую и вверх во вторую четверть.
• Прямая y=kx с отрицательным k может пересечь луч y=6 (для x ≤ -3) или луч y=-6 (для x ≥ 3).
• Пересечение с y = 6: 6 = kx. Поскольку x ≤ -3, то k = 6/x. Так как x отрицателен, k будет отрицательным. Например, если x = -3, то k = 6/(-3) = -2. Если x < -3, то |x| > 3, и |k| = 6/|x| < 2.
• Пересечение с y = -6: -6 = kx. Поскольку x ≥ 3, то k = -6/x. Так как x положителен, k будет отрицательным. Например, если x = 3, то k = -6/3 = -2. Если x > 3, то k = -6/x. Тогда |k| = 6/x < 2.
• Вывод:
• Если k > 0, прямая y = kx пересекает график только в точке (0,0).
• Если k = 0, прямая y = 0 совпадает с осью x. Она пересекает график только в точке (0,0).
• Если k < 0 и k > -2, прямая y = kx будет пересекать график в точке (0,0) и в одной из точек на горизонтальных лучах (т.е. две точки).
• Если k = -2, прямая совпадает с отрезком y=-2x, что дает бесконечно много точек.
• Если k < -2, прямая пересечет график в точке (0,0) и в одной из точек на горизонтальных лучах (т.е. две точки).

Значит, чтобы было ровно одна общая точка, прямая y = kx должна пересекать график только в точке (0, 0).

Это происходит, когда:

• k > 0 (прямая уходит в I и III четверти, пересекая только начало координат).
• k = 0 (прямая совпадает с осью X, пересекая график только в (0,0)).
• k < -2 (прямая уходит в II и IV четверти, но ее наклон слишком крутой, чтобы она пересекла горизонтальные лучи y=6 или y=-6 где-либо, кроме начала координат).

Итак, прямая y=kx будет иметь ровно одну общую точку с графиком функции, когда k > 0 или k < -2.

Ответ: k ∈ (-∞, -2) ∪ (0, +∞)