Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
Математика
Ответ:
Решение:
1. Область определения:
Функция \( y = -x^3 + 3x + 2 \) определена для всех действительных чисел \( x \). Область определения: \( D(y) = (-\infty; +\infty) \).
2. Четность/Нечетность:
Проверим \( y(-x) \): \( y(-x) = -(-x)^3 + 3(-x) + 2 = -(-x^3) - 3x + 2 = x^3 - 3x + 2 \). Так как \( y(-x) \) не равно \( y(x) \) и \( -y(x) \), функция не является ни четной, ни нечетной.
3. Точки пересечения с осями:
- С осью Oy (x=0): \( y(0) = -(0)^3 + 3(0) + 2 = 2 \). Точка пересечения: \( (0; 2) \).
- С осью Ox (y=0): \( -x^3 + 3x + 2 = 0 \). Это кубическое уравнение. Попробуем найти целочисленные корни, проверяя делители свободного члена (2): \( \pm 1, \pm 2 \).
- При \( x = 1 \): \( -(1)^3 + 3(1) + 2 = -1 + 3 + 2 = 4 \) \( \ne 0 \).
- При \( x = -1 \): \( -(-1)^3 + 3(-1) + 2 = -(-1) - 3 + 2 = 1 - 3 + 2 = 0 \). Значит, \( x = -1 \) — корень.
- Разделим многочлен \( -x^3 + 3x + 2 \) на \( (x+1) \).
- Теперь решим \( -x^2 + x + 2 = 0 \) или \( x^2 - x - 2 = 0 \).
- Таким образом, корни исходного уравнения: \( x = -1 \) (кратности 2) и \( x = 2 \).
- Точки пересечения с осью Ox: \( (-1; 0) \) и \( (2; 0) \).
\( (-x^3 + 3x + 2) : (x+1) = -x^2 + x + 2 \).
Дискриминант \( D = (-1)^2 - 4(1)(-2) = 1 + 8 = 9 \).
Корни: \( x = \frac{1 \pm \sqrt{9}}{2} = \frac{1 \pm 3}{2} \).
\( x_1 = \frac{1+3}{2} = 2 \), \( x_2 = \frac{1-3}{2} = -1 \).
4. Экстремумы (критические точки):
Найдем первую производную:
\[ y' = -3x^2 + 3 \]Приравняем производную к нулю:
\[ -3x^2 + 3 = 0 \]\[ -3x^2 = -3 \]\[ x^2 = 1 \]\[ x = \pm 1 \]Критические точки: \( x = -1 \) и \( x = 1 \).
Определим знаки производной на интервалах:
- \( (-\infty; -1) \): возьмем \( x = -2 \). \( y'(-2) = -3(-2)^2 + 3 = -3(4) + 3 = -12 + 3 = -9 < 0 \). Функция убывает.
- \( (-1; 1) \): возьмем \( x = 0 \). \( y'(0) = -3(0)^2 + 3 = 3 > 0 \). Функция возрастает.
- \( (1; +\infty) \): возьмем \( x = 2 \). \( y'(2) = -3(2)^2 + 3 = -3(4) + 3 = -12 + 3 = -9 < 0 \). Функция убывает.
5. Точки экстремума:
- При \( x = -1 \) происходит смена знака производной с '-' на '+', значит, это точка минимума.
- При \( x = 1 \) происходит смена знака производной с '+' на '-', значит, это точка максимума.
\( y(-1) = -(-1)^3 + 3(-1) + 2 = 1 - 3 + 2 = 0 \). Точка минимума: \( (-1; 0) \).
\( y(1) = -(1)^3 + 3(1) + 2 = -1 + 3 + 2 = 4 \). Точка максимума: \( (1; 4) \).
6. Интервалы возрастания и убывания:
- Возрастает на \( [-1; 1] \).
- Убывает на \( (-\infty; -1] \) и \( [1; +\infty) \).
7. Построение графика:
Отмечаем точки: \( (0; 2) \) (пересечение с Oy), \( (-1; 0) \) (корень и минимум), \( (2; 0) \) (корень), \( (1; 4) \) (максимум).
Ответ: Функция убывает на \( (-\infty; -1] \) и \( [1; +\infty) \), возрастает на \( [-1; 1] \). Точки экстремума: \( (-1; 0) \) (минимум), \( (1; 4) \) (максимум). График построен.
