21. Во всех подъездах дома одинаковое число этажей, а на каждом этаже в любом подъезде одинаковое число квартир. При этом число этажей в доме больше числа квартир на этаже, число квартир на этаже больше числа подъездов, а число подъездов больше одного. Сколько этажей в доме, если всего в нём 345 квартир?

Краткое пояснение:

Пошаговое решение:

1. Обозначения:
   К — общее количество квартир (345)
   П — количество подъездов
   Э — количество этажей
   К_эт — количество квартир на этаже
2. Условия:
   1. Число этажей в доме больше числа квартир на этаже: Э > К_эт.
   2. Число квартир на этаже больше числа подъездов: К_эт > П.
   3. Число подъездов больше одного: П > 1.
   4. В подъездах одинаковое число этажей, на каждом этаже одинаковое число квартир.
3. Общее количество квартир: К = П * Э * К_эт = 345
4. Разложим 345 на простые множители: 345 = 3 * 5 * 23.
5. Нам нужно найти такие множители (П, Э, К_эт), чтобы выполнялись условия Э > К_эт, К_эт > П, П > 1.
6. Рассмотрим возможные комбинации множителей:
7. Вариант 1: П=3, К_эт=5, Э=23.
   Проверяем условия: Э > К_эт (23 > 5) — Да.
   К_эт > П (5 > 3) — Да.
   П > 1 (3 > 1) — Да.
   Эта комбинация удовлетворяет всем условиям.
8. Вариант 2: П=3, К_эт=23, Э=5.
   Проверяем условия: Э > К_эт (5 > 23) — Нет.
9. Вариант 3: П=5, К_эт=3, Э=23.
   Проверяем условия: Э > К_эт (23 > 3) — Да.
   К_эт > П (3 > 5) — Нет.
10. Вариант 4: П=5, К_эт=23, Э=3.
    Проверяем условия: Э > К_эт (3 > 23) — Нет.
11. Вариант 5: П=23, К_эт=3, Э=5.
    Проверяем условия: Э > К_эт (5 > 3) — Да.
    К_эт > П (3 > 23) — Нет.
12. Вариант 6: П=23, К_эт=5, Э=3.
    Проверяем условия: Э > К_эт (3 > 5) — Нет.
13. Единственная комбинация, удовлетворяющая условиям: П=3, К_эт=5, Э=23.
14. Следовательно, количество этажей в доме равно 23.

Ответ: 23