21. Моторная лодка прошла против течения реки 80 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 1 час меньше, чем на путь против течения. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 2 км/ч.

Решение:

Обозначим:

• v — скорость лодки в неподвижной воде (км/ч).
• v_т — скорость течения реки = 2 км/ч.

Скорость лодки против течения: v - v_т = v - 2 (км/ч).

Скорость лодки по течению: v + v_т = v + 2 (км/ч).

Время, затраченное на путь против течения (80 км): t_против = \frac{80}{v - 2} (ч).

Время, затраченное на путь по течению (80 км): t_по = \frac{80}{v + 2} (ч).

По условию, на обратный путь (по течению) было затрачено на 1 час меньше, чем против течения:

\[ t_{по} = t_{против} - 1 \]

\[ \frac{80}{v + 2} = \frac{80}{v - 2} - 1 \]

Приведем к общему знаменателю:

\[ \frac{80}{v + 2} = \frac{80 - (v - 2)}{v - 2} \]

\[ \frac{80}{v + 2} = \frac{82 - v}{v - 2} \]

Перемножим крест-накрест:

\[ 80(v - 2) = (82 - v)(v + 2) \]

\[ 80v - 160 = 82v + 164 - v^2 - 2v \]

\[ 80v - 160 = 80v + 164 - v^2 \]

Перенесем все в одну сторону:

\[ v^2 + 80v - 80v - 160 - 164 = 0 \]

\[ v^2 - 324 = 0 \]

\[ v^2 = 324 \]

\[ v = \pm \sqrt{324} \]

\[ v = \pm 18 \]

Так как скорость лодки не может быть отрицательной, выбираем положительное значение.

v = 18 км/ч.

Проверка:

Скорость против течения: 18 - 2 = 16 км/ч. Время: 80/16 = 5 часов.

Скорость по течению: 18 + 2 = 20 км/ч. Время: 80/20 = 4 часа.

Разница во времени: 5 - 4 = 1 час. Условие выполнено.

Ответ: 18 км/ч