20 Итоговая мини-задача на применение темы. Автомобиль массой 1,2 т разгоняется на горизонтальной дороге от 0 до 20 м/с за 10 с. Сила сопротивления движению постоянна и равна 800 Н. Найдите: 1) работу двигателя; 2) мощность двигателя; 3) изменение кинетической энергии автомобиля.

Решение:

Дано:

Масса \( m = 1.2 \text{ т} = 1200 \text{ кг} \).

Начальная скорость \( v_0 = 0 \text{ м/с} \).

Конечная скорость \( v = 20 \text{ м/с} \).

Время \( t = 10 \text{ с} \).

Сила сопротивления \( F_{\text{сопр}} = 800 \text{ Н} \).

Найти:

1) Работу двигателя \( A_{\text{двиг}} \).

2) Мощность двигателя \( N_{\text{двиг}} \).

3) Изменение кинетической энергии \( \Delta E_k \).

Решение:

3) Изменение кинетической энергии:

\( E_{k \text{нач}} = \frac{mv_0^2}{2} = \frac{1200 \text{ кг} \cdot (0 \text{ м/с})^2}{2} = 0 \text{ Дж} \).

\( E_{k \text{кон}} = \frac{mv^2}{2} = \frac{1200 \text{ кг} \cdot (20 \text{ м/с})^2}{2} = \frac{1200 \text{ кг} \cdot 400 \text{ м}^2/\text{с}^2}{2} = 240000 \text{ Дж} = 240 \text{ кДж} \).

\( \Delta E_k = E_{k \text{кон}} - E_{k \text{нач}} = 240000 \text{ Дж} - 0 \text{ Дж} = 240000 \text{ Дж} \).

2) Для нахождения мощности двигателя, сначала найдём ускорение и силу тяги двигателя. Ускорение \( a = \frac{v - v_0}{t} = \frac{20 \text{ м/с} - 0 \text{ м/с}}{10 \text{ с}} = 2 \text{ м/с}^2 \).

Сила тяги двигателя \( F_{\text{тяг}} \) по второму закону Ньютона: \( F_{\text{тяг}} - F_{\text{сопр}} = ma \).

\( F_{\text{тяг}} = ma + F_{\text{сопр}} = 1200 \text{ кг} \cdot 2 \text{ м/с}^2 + 800 \text{ Н} = 2400 \text{ Н} + 800 \text{ Н} = 3200 \text{ Н} \).

Мощность двигателя: \( N_{\text{двиг}} = \frac{A_{\text{двиг}}}{t} \). Работа двигателя \( A_{\text{двиг}} = F_{\text{тяг}} \cdot s \). Путь \( s \) можно найти по формуле \( s = v_0t + \frac{at^2}{2} \) или \( s = \frac{v^2 - v_0^2}{2a} \).

\( s = \frac{(20 \text{ м/с})^2 - 0^2}{2 \cdot 2 \text{ м/с}^2} = \frac{400 \text{ м}^2/\text{с}^2}{4 \text{ м/с}^2} = 100 \text{ м} \).

\( A_{\text{двиг}} = 3200 \text{ Н} \cdot 100 \text{ м} = 320000 \text{ Дж} \).

\( N_{\text{двиг}} = \frac{320000 \text{ Дж}}{10 \text{ с}} = 32000 \text{ Вт} = 32 \text{ кВт} \).

1) Работа двигателя \( A_{\text{двиг}} = 320000 \text{ Дж} \).

Ответ: 1) 320000 Дж; 2) 32000 Вт (или 32 кВт); 3) 240000 Дж (или 240 кДж)