№2 Вычислить: a) $$\frac{(5^2)^4 \cdot 25}{59}$$ б) $$\frac{(7^7)^3 \cdot 7^3}{(7^5)^2}$$

Вычислить значения выражений:

а) $$\frac{(5^2)^4 \cdot 25}{59}$$

Сначала раскроем скобки, используя свойство степеней $$(a^m)^n = a^{m \cdot n}$$:

$$(5^2)^4 = 5^{2 \cdot 4} = 5^8$$

Теперь представим 25 как степень пятерки: $$25 = 5^2$$

Подставим в дробь:

$$\frac{5^8 \cdot 5^2}{59}$$

Сложим степени в числителе, используя свойство $$a^m \cdot a^n = a^{m+n}$$:

$$5^8 \cdot 5^2 = 5^{8+2} = 5^{10}$$

Итоговое выражение:

$$\frac{5^{10}}{59}$$

Поскольку 59 — простое число, и 5 не делится на 59, дробь остаётся в таком виде. Если предполагалось приближенное вычисление, то $$5^{10}$$ — это очень большое число, и результат будет дробным.

б) $$\frac{(7^7)^3 \cdot 7^3}{(7^5)^2}$$

Применим свойство степеней $$(a^m)^n = a^{m \cdot n}$$:

$$(7^7)^3 = 7^{7 \cdot 3} = 7^{21}$$

$$(7^5)^2 = 7^{5 \cdot 2} = 7^{10}$$

Подставим в дробь:

$$\frac{7^{21} \cdot 7^3}{7^{10}}$$

Сложим степени в числителе: $$7^{21} \cdot 7^3 = 7^{21+3} = 7^{24}$$

Теперь выполним деление степеней, используя свойство $$\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$$:

$$\frac{7^{24}}{7^{10}} = 7^{24-10} = 7^{14}$$

Ответ: а) $$\frac{5^{10}}{59}$$; б) $$7^{14}$$.