2. В треугольнике АВС угол А в 4 раза меньше угла В, а угол С на 90° меньше угла В. а) Найти углы треугольника АBC. б) Сравнить стороны АВ и ВС.

Решение:

Пусть угол \( B = x \). Тогда угол \( A = \frac{1}{4}x \), а угол \( C = x - 90^{\circ} \).

а) Найти углы треугольника АBC:

1. Сумма углов треугольника равна \( 180^{\circ} \): \( A + B + C = 180^{\circ} \).
2. Подставим выражения для углов: \( \frac{1}{4}x + x + (x - 90^{\circ}) = 180^{\circ} \).
3. Приведём к общему знаменателю: \( \frac{1}{4}x + \frac{4}{4}x + \frac{4}{4}x - \frac{360^{\circ}}{4} = \frac{720^{\circ}}{4} \).
4. Решим уравнение: \( 9x - 360^{\circ} = 720^{\circ} \) \( 9x = 1080^{\circ} \) \( x = \frac{1080^{\circ}}{9} = 120^{\circ} \).
5. Теперь найдём углы: \( B = x = 120^{\circ} \). \( A = \frac{1}{4}x = \frac{1}{4} \cdot 120^{\circ} = 30^{\circ} \). \( C = x - 90^{\circ} = 120^{\circ} - 90^{\circ} = 30^{\circ} \).

б) Сравнить стороны АВ и ВС:

В треугольнике \( ABC \) углы \( A = 30^{\circ} \) и \( C = 30^{\circ} \). Угол \( B = 120^{\circ} \).

Так как \( \angle A = \angle C \), треугольник \( ABC \) является равнобедренным с основанием \( AC \). Следовательно, стороны, противолежащие равным углам, равны: \( AB = BC \).

Ответ: а) \( \angle A = 30^{\circ}, \angle B = 120^{\circ}, \angle C = 30^{\circ} \). б) \( AB = BC \).