2. В равнобедренную трапецию вписана окружность. Точка касания делит боковую сторону в отношении 9:16, высота трапеции равна 24 см. Найдите среднюю линию трапеции.

Пусть части боковой стороны, на которые точка касания делит её, равны \(9x\) и \(16x\). Тогда боковая сторона равна:

\[l=9x+16x=25x.\]

Из свойства касательных, проведённых из одной точки, основания равнобедренной трапеции равны \(18x\) и \(32x\). Поэтому половина разности оснований равна:

\[\frac{32x-18x}{2}=7x.\]

В прямоугольном треугольнике с высотой 24 см:

\[(25x)^2=24^2+(7x)^2.\]

\[625x^2=576+49x^2,\qquad 576x^2=576,\qquad x=1.\]

Средняя линия трапеции равна полусумме оснований:

\[m=\frac{18+32}{2}=25\text{ см}.\]

Ответ: 25 см.