2) В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС проведена биссектриса CD. Найдите углы треугольника АВС, если угол ADC = 60°

Решение:

1. Так как \( Треугольник ABC \) равнобедренный с основанием \( AC \), то \( ∠ BAC = ∠ BCA \) и \( AB = BC \).
2. \( CD \) — биссектриса угла \( BCA \).
3. Рассмотрим \( Треугольник ADC \). По условию \( ∠ ADC = 60^\circ \).
4. \( ∠ BCD = ∠ ACD \) (так как \( CD \) — биссектриса).
5. \( ∠ BCA = ∠ BAC \).
6. В \( Треугольник ADC \): \( ∠ DAC + ∠ ACD + ∠ ADC = 180^\circ \).
7. \( ∠ DAC + ∠ ACD + 60^\circ = 180^\circ \)
8. \( ∠ DAC + ∠ ACD = 120^\circ \)
9. Так как \( ∠ DAC = ∠ BAC \) и \( ∠ ACD = ∠ BCA / 2 \) и \( ∠ BAC = ∠ BCA \), то можем заменить \( ∠ ACD \) на \( ∠ BAC / 2 \).
10. \( ∠ BAC + ∠ BAC / 2 = 120^\circ \)
11. \( \frac{3}{2} ∠ BAC = 120^\circ \)
12. \( ∠ BAC = 120^\circ · \frac{2}{3} = 80^\circ \)
13. Тогда \( ∠ BCA = 80^\circ \).
14. \( ∠ ACD = 80^\circ / 2 = 40^\circ \)
15. \( ∠ ABC = 180^\circ - (∠ BAC + ∠ BCA) = 180^\circ - (80^\circ + 80^\circ) = 180^\circ - 160^\circ = 20^\circ \)

Ответ: ∠ BAC = 80°, ∠ BCA = 80°, ∠ ABC = 20°.