1) В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС проведена медиана ВМ. На ней взята точка D. Докажите равенство треугольников ABD и CBD.

Решение:

Рассмотрим треугольники \( ABD \) и \( CBD \).

1. Так как \( Треугольник ABC \) равнобедренный с основанием \( AC \), то \( AB = CB \).
2. Медиана \( BM \) делит основание \( AC \) пополам, следовательно, \( AM = MC \).
3. Так как \( BM \) — медиана, то \( BM = BM \) (общая сторона).
4. По трём сторонам (по первому признаку равенства треугольников), \( Треугольник ABM = Треугольник CBM \).
5. Из равенства этих треугольников следует, что \( ∠ ABM = ∠ CBM \).
6. Так как \( D \) лежит на медиане \( BM \), то \( BD \) является её частью.
7. Рассмотрим треугольники \( ABD \) и \( CBD \):
   • \( AB = CB \) (по условию, равнобедренный треугольник).
   • \( ∠ ABD = ∠ CBD \) (так как \( BM \) — биссектриса угла \( ABC \) из равенства \( Треугольник ABM \) и \( CBM \)).
   • \( BD = BD \) (общая сторона).
8. По первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними), \( Треугольбник ABD = Треугольник CBD \).

Доказано.