2. В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС = 38 см внешний угол при вершине В равен 60°. Найдите расстояние от вершины С до прямой АВ.

Решение:

Дано:

• \( \triangle ABC \) — равнобедренный.
• \( AC = 38 \) см — основание.
• Внешний угол при вершине \( B = 60^{\circ} \).

Найти: Расстояние от \( C \) до прямой \( AB \).

1. Внешний угол при вершине \( B \) равен \( 60^{\circ} \). Это означает, что внутренний угол \( \angle ABC = 180^{\circ} - 60^{\circ} = 120^{\circ} \).
2. Так как \( \triangle ABC \) — равнобедренный с основанием \( AC \), то углы при основании равны: \( \angle BAC = \angle BCA \).
3. Сумма углов в \( \triangle ABC \) равна \( 180^{\circ} \). Следовательно, \( \angle BAC + \angle BCA + \angle ABC = 180^{\circ} \).
4. \( 2 \angle BAC + 120^{\circ} = 180^{\circ} \)
5. \( 2 \angle BAC = 180^{\circ} - 120^{\circ} \)
6. \( 2 \angle BAC = 60^{\circ} \)
7. \( \angle BAC = 30^{\circ} \).
8. Значит, \( \angle BCA = 30^{\circ} \).
9. Расстояние от вершины \( C \) до прямой \( AB \) — это длина перпендикуляра, опущенного из \( C \) на прямую \( AB \). Обозначим точку пересечения этого перпендикуляра с прямой \( AB \) как \( D \). Тогда \( CD \) — искомое расстояние, и \( \triangle CDA \) — прямоугольный треугольник с прямым углом \( \angle CDA = 90^{\circ} \).
10. В прямоугольном \( \triangle CDA \): \( \angle CAD = \angle BAC = 30^{\circ} \), \( AC = 38 \) см.
11. В прямоугольном треугольнике катет, лежащий против угла в \( 30^{\circ} \), равен половине гипотенузы. То есть, \( CD = \frac{1}{2} AC \).
12. \( CD = \frac{1}{2} \cdot 38 \) см \( = 19 \) см.

Ответ: 19 см.