Контрольные задания
Вопрос:Фото задания: 2. В прямоугольнике ABCD О — точка пересечения диагоналей, BH и DE — высоты треугольников ABO и COD соответственно,…Фото задания

Ответ:

Задание 2. Высоты в прямоугольнике

Дано:

  • Прямоугольник ABCD.
  • O — точка пересечения диагоналей.
  • BH — высота \(\triangle\) ABO.
  • DE — высота \(\triangle\) COD.
  • \( \angle BOH = 60^\circ \).
  • \( AH = 5 \) см.

Найти: длину OE.

Решение:

  1. В прямоугольнике диагонали равны и точкой пересечения делятся пополам: \( AO = BO = CO = DO \).
  2. \(\triangle\) ABO и \(\triangle\) COD — равнобедренные, так как \( AO = BO \) и \( CO = DO \).
  3. \(\triangle\) BOC и \(\triangle\) AOD — равнобедренные, так как \( BO = CO \) и \( AO = DO \).
  4. BH — высота \(\triangle\) ABO, значит, BH ⊥ AO.
  5. DE — высота \(\triangle\) COD, значит, DE ⊥ CO.
  6. \(\angle\) BOH = 60\(\circ\) \). Так как \(\triangle\) ABO — равнобедренный, то высота BH является и медианой, и биссектрисой.
  7. \(\angle\) AOB = 2 \(\cdot\) \(\angle\) BAH = 2 \(\cdot\) \(90\circ - 60\circ\) = 2 \(\cdot\) 30\(\circ\) = 60\(\circ\) \).
  8. Если угол при вершине равнобедренного треугольника равен \( 60^\circ \), то этот треугольник равносторонний. Следовательно, \(\triangle\) ABO — равносторонний.
  9. Тогда \( AB = AO = BO \).
  10. В \(\triangle\) ADO, \( AO = DO \). Угол \(\angle\) AOD = 180\(\circ\) - \(\angle\) AOB = 180\(\circ\) - 60\(\circ\) = 120\(\circ\) \).
  11. DE — высота \(\triangle\) COD. \( \triangle COD \) равнобедренный. \(\angle\) COD = \(\angle\) AOB = 60\(\circ\) \) (как вертикальные углы).
  12. Значит, \(\triangle\) COD — равносторонний.
  13. \( CO = DO = CD \).
  14. Рассмотрим \(\triangle\) ADO. \( AO = DO \). Угол \(\angle\) DAO = 90\(\circ\) - \(\angle\) OAD, где \( \angle OAD \) — угол между диагональю и стороной AD.
  15. Из равностороннего \(\triangle\) ABO: \( AO = BO = AB \).
  16. Из равностороннего \(\triangle\) COD: \( CO = DO = CD \).
  17. Так как \( AO = CO \), то \( AB = CD \), что верно для прямоугольника.
  18. В \(\triangle\) ABO, BH — высота. \( \angle BOH = 60^\circ \). Это угол между диагональю BO и высотой BH.
  19. Рассмотрим \(\triangle\) ABH. Это прямоугольный треугольник. \(\angle\) BAH + \(\angle\) ABH = 90\(\circ\) \).
  20. \(\angle\) OAB = \(\angle\) OBA \) в \(\triangle\) ABO. \( \angle OAB + \angle OBA + \angle AOB = 180^\circ \). \( 2 \angle OAB + 60^\circ = 180^\circ \). \( 2 \angle OAB = 120^\circ \). \( \angle OAB = 60^\circ \).
  21. Тогда \(\angle\) ABH = \(\angle\) ABO - \(\angle\) HBO = 60^\(\circ\) - 60^\(\circ\) = 0^\(\circ\) \). Это неверно.
  22. Перечитаем условие: \( \angle BOH = 60^\circ \). H — основание высоты BH, проведенной из B к AO.
  23. \(\triangle\) ABO — равнобедренный. BH — высота. H — середина AO.
  24. В \(\triangle\) BOH, \(\angle\) BHO = 90\(\circ\) \). \( \angle BOH = 60^\circ \).
  25. Тогда \(\angle\) OBH = 180\(\circ\) - 90\(\circ\) - 60\(\circ\) = 30\(\circ\) \).
  26. \(\angle\) ABO = \(\angle\) OBH + \(\angle\) HBA = 30\(\circ\) + \(\angle\) HBA \).
  27. Так как \(\triangle\) ABO равнобедренный, \(\angle\) BAO = \(\angle\) ABO.
  28. \(\angle\) AOB = 180\(\circ\) - 2 \(\cdot\) \(\angle\) ABO \).
  29. \(\angle\) AOB = 180\(\circ\) - \(\angle\) BOH - \(\angle\) HOA = 180\(\circ\) - 60\(\circ\) - 90\(\circ\) = 30\(\circ\) \). Это нелогично, т.к. H лежит на AO.
  30. \(\angle\) AOB = \(\angle\) AOH + \(\angle\) HOB. \( \angle AOH = 90^\circ \).
  31. \(\angle\) AOB = 90^\(\circ\) + 60^\(\circ\) = 150^\(\circ\) \).
  32. Тогда \(\angle\) ABO = \(\angle\) BAO = \(180\circ - 150\circ\) / 2 = 30\(\circ\) / 2 = 15\(\circ\) \).
  33. В \(\triangle\) ABH: \(\angle\) BAH = 15\(\circ\) \), \(\angle\) BHA = 90\(\circ\) \).
  34. \(\angle\) ABH = 180\(\circ\) - 90\(\circ\) - 15\(\circ\) = 75\(\circ\) \).
  35. \(\angle\) OBH = \(\angle\) ABO - \(\angle\) ABH = 15\(\circ\) - 75\(\circ\) \). Это невозможно.
  36. Прочтем еще раз: \( \angle BOH = 60^\circ \). H — основание высоты BH.
  37. \(\triangle\) ABO — равнобедренный. BH — высота, значит, BH ⊥ AO.
  38. \(\angle\) BHO = 90\(\circ\) \).
  39. В \(\triangle\) BOH: \(\angle\) BOH = 60^\(\circ\) \). \( \angle OBH = 180^\circ - 90^\circ - 60\circ = 30\circ \).
  40. \(\angle\) AOB = \(\angle\) AOH + \(\angle\) HOB. \( \angle AOH = 90^\circ \).
  41. \(\angle\) AOB = 90\(\circ\) + 60\(\circ\) = 150\(\circ\) \).
  42. \(\angle\) ABO = \(\angle\) BAO = \(180\circ - 150\circ\) / 2 = 15\(\circ\) \).
  43. \(\angle\) ABH = \(\angle\) ABO = 15\(\circ\) \).
  44. В \(\triangle\) ABH: \(\angle\) BAH = 15\(\circ\) \). \( \angle BHA = 90\circ \). \( \angle ABH = 75\circ \).
  45. Противоречие.
  46. Возможно, \( \angle BAH = 60^\circ \)? Тогда \(\angle\) OAB = 60\(\circ\) \). \( \triangle ABO \) равнобедренный, значит \(\angle\) OBA = 60\(\circ\) \). Тогда \(\triangle\) ABO равносторонний. \(\angle\) AOB = 60\(\circ\) \).
  47. BH — высота \(\triangle\) ABO. В равностороннем \(\triangle\) ABO, высота BH биссектриса. \(\angle\) OBH = \(\angle\) ABO / 2 = 60\(\circ\) / 2 = 30\(\circ\) \).
  48. \(\angle\) BOH = 90\(\circ\) - \(\angle\) OBH = 90\(\circ\) - 30\(\circ\) = 60\(\circ\) \). Это соответствует условию!
  49. Итак, \(\triangle\) ABO — равносторонний. \( AO = BO = AB \).
  50. AH = 5 см. H — середина AO. \( AO = 2 \cdot AH = 2 \cdot 5 = 10 \) см.
  51. Значит, \( AB = 10 \) см.
  52. \(\triangle\) COD — равнобедренный. \( CO = DO \). \(\angle\) COD = \(\angle\) AOB = 60\(\circ\) \) (вертикальные углы).
  53. Следовательно, \(\triangle\) COD — равносторонний. \( CO = DO = CD = AB = 10 \) см.
  54. DE — высота \(\triangle\) COD. E — середина CO.
  55. Нам нужно найти OE. OE = CO / 2.
  56. \( CO = 10 \) см.
  57. \( OE = 10 / 2 = 5 \) см.

Ответ: OE = 5 см.