Задание 2. Высоты в прямоугольнике

Дано:

Прямоугольник ABCD.
O — точка пересечения диагоналей.
BH — высота \(\triangle\) ABO.
DE — высота \(\triangle\) COD.
\( \angle BOH = 60^\circ \).
\( AH = 5 \) см.

Найти: длину OE.

Решение:

В прямоугольнике диагонали равны и точкой пересечения делятся пополам: \( AO = BO = CO = DO \).
\(\triangle\) ABO и \(\triangle\) COD — равнобедренные, так как \( AO = BO \) и \( CO = DO \).
\(\triangle\) BOC и \(\triangle\) AOD — равнобедренные, так как \( BO = CO \) и \( AO = DO \).
BH — высота \(\triangle\) ABO, значит, BH ⊥ AO.
DE — высота \(\triangle\) COD, значит, DE ⊥ CO.
\(\angle\) BOH = 60\(\circ\) \). Так как \(\triangle\) ABO — равнобедренный, то высота BH является и медианой, и биссектрисой.
\(\angle\) AOB = 2 \(\cdot\) \(\angle\) BAH = 2 \(\cdot\) \(90\circ - 60\circ\) = 2 \(\cdot\) 30\(\circ\) = 60\(\circ\) \).
Если угол при вершине равнобедренного треугольника равен \( 60^\circ \), то этот треугольник равносторонний. Следовательно, \(\triangle\) ABO — равносторонний.
Тогда \( AB = AO = BO \).
В \(\triangle\) ADO, \( AO = DO \). Угол \(\angle\) AOD = 180\(\circ\) - \(\angle\) AOB = 180\(\circ\) - 60\(\circ\) = 120\(\circ\) \).
DE — высота \(\triangle\) COD. \( \triangle COD \) равнобедренный. \(\angle\) COD = \(\angle\) AOB = 60\(\circ\) \) (как вертикальные углы).
Значит, \(\triangle\) COD — равносторонний.
\( CO = DO = CD \).
Рассмотрим \(\triangle\) ADO. \( AO = DO \). Угол \(\angle\) DAO = 90\(\circ\) - \(\angle\) OAD, где \( \angle OAD \) — угол между диагональю и стороной AD.
Из равностороннего \(\triangle\) ABO: \( AO = BO = AB \).
Из равностороннего \(\triangle\) COD: \( CO = DO = CD \).
Так как \( AO = CO \), то \( AB = CD \), что верно для прямоугольника.
В \(\triangle\) ABO, BH — высота. \( \angle BOH = 60^\circ \). Это угол между диагональю BO и высотой BH.
Рассмотрим \(\triangle\) ABH. Это прямоугольный треугольник. \(\angle\) BAH + \(\angle\) ABH = 90\(\circ\) \).
\(\angle\) OAB = \(\angle\) OBA \) в \(\triangle\) ABO. \( \angle OAB + \angle OBA + \angle AOB = 180^\circ \). \( 2 \angle OAB + 60^\circ = 180^\circ \). \( 2 \angle OAB = 120^\circ \). \( \angle OAB = 60^\circ \).
Тогда \(\angle\) ABH = \(\angle\) ABO - \(\angle\) HBO = 60^\(\circ\) - 60^\(\circ\) = 0^\(\circ\) \). Это неверно.
Перечитаем условие: \( \angle BOH = 60^\circ \). H — основание высоты BH, проведенной из B к AO.
\(\triangle\) ABO — равнобедренный. BH — высота. H — середина AO.
В \(\triangle\) BOH, \(\angle\) BHO = 90\(\circ\) \). \( \angle BOH = 60^\circ \).
Тогда \(\angle\) OBH = 180\(\circ\) - 90\(\circ\) - 60\(\circ\) = 30\(\circ\) \).
\(\angle\) ABO = \(\angle\) OBH + \(\angle\) HBA = 30\(\circ\) + \(\angle\) HBA \).
Так как \(\triangle\) ABO равнобедренный, \(\angle\) BAO = \(\angle\) ABO.
\(\angle\) AOB = 180\(\circ\) - 2 \(\cdot\) \(\angle\) ABO \).
\(\angle\) AOB = 180\(\circ\) - \(\angle\) BOH - \(\angle\) HOA = 180\(\circ\) - 60\(\circ\) - 90\(\circ\) = 30\(\circ\) \). Это нелогично, т.к. H лежит на AO.
\(\angle\) AOB = \(\angle\) AOH + \(\angle\) HOB. \( \angle AOH = 90^\circ \).
\(\angle\) AOB = 90^\(\circ\) + 60^\(\circ\) = 150^\(\circ\) \).
Тогда \(\angle\) ABO = \(\angle\) BAO = \(180\circ - 150\circ\) / 2 = 30\(\circ\) / 2 = 15\(\circ\) \).
В \(\triangle\) ABH: \(\angle\) BAH = 15\(\circ\) \), \(\angle\) BHA = 90\(\circ\) \).
\(\angle\) ABH = 180\(\circ\) - 90\(\circ\) - 15\(\circ\) = 75\(\circ\) \).
\(\angle\) OBH = \(\angle\) ABO - \(\angle\) ABH = 15\(\circ\) - 75\(\circ\) \). Это невозможно.
Прочтем еще раз: \( \angle BOH = 60^\circ \). H — основание высоты BH.
\(\triangle\) ABO — равнобедренный. BH — высота, значит, BH ⊥ AO.
\(\angle\) BHO = 90\(\circ\) \).
В \(\triangle\) BOH: \(\angle\) BOH = 60^\(\circ\) \). \( \angle OBH = 180^\circ - 90^\circ - 60\circ = 30\circ \).
\(\angle\) AOB = \(\angle\) AOH + \(\angle\) HOB. \( \angle AOH = 90^\circ \).
\(\angle\) AOB = 90\(\circ\) + 60\(\circ\) = 150\(\circ\) \).
\(\angle\) ABO = \(\angle\) BAO = \(180\circ - 150\circ\) / 2 = 15\(\circ\) \).
\(\angle\) ABH = \(\angle\) ABO = 15\(\circ\) \).
В \(\triangle\) ABH: \(\angle\) BAH = 15\(\circ\) \). \( \angle BHA = 90\circ \). \( \angle ABH = 75\circ \).
Противоречие.
Возможно, \( \angle BAH = 60^\circ \)? Тогда \(\angle\) OAB = 60\(\circ\) \). \( \triangle ABO \) равнобедренный, значит \(\angle\) OBA = 60\(\circ\) \). Тогда \(\triangle\) ABO равносторонний. \(\angle\) AOB = 60\(\circ\) \).
BH — высота \(\triangle\) ABO. В равностороннем \(\triangle\) ABO, высота BH биссектриса. \(\angle\) OBH = \(\angle\) ABO / 2 = 60\(\circ\) / 2 = 30\(\circ\) \).
\(\angle\) BOH = 90\(\circ\) - \(\angle\) OBH = 90\(\circ\) - 30\(\circ\) = 60\(\circ\) \). Это соответствует условию!
Итак, \(\triangle\) ABO — равносторонний. \( AO = BO = AB \).
AH = 5 см. H — середина AO. \( AO = 2 \cdot AH = 2 \cdot 5 = 10 \) см.
Значит, \( AB = 10 \) см.
\(\triangle\) COD — равнобедренный. \( CO = DO \). \(\angle\) COD = \(\angle\) AOB = 60\(\circ\) \) (вертикальные углы).
Следовательно, \(\triangle\) COD — равносторонний. \( CO = DO = CD = AB = 10 \) см.
DE — высота \(\triangle\) COD. E — середина CO.
Нам нужно найти OE. OE = CO / 2.
\( CO = 10 \) см.
\( OE = 10 / 2 = 5 \) см.

Ответ: OE = 5 см.

Поделись с друзьями