2. Точка K лежит на стороне AB, а точка M — на стороне CD параллелограмма ABCD, причём AK = KB, CM : MD = 3 : 5. Выразите векторы DB, BM, MD, AM, MK через векторы AB = p и AD = q.

Возьмём точку A за начало отсчёта. Тогда \(B=\vec p\), \(D=\vec q\), \(C=\vec p+\vec q\).

Так как K — середина AB, \(\overrightarrow{AK}=\frac12\vec p\).

Точка M делит CD в отношении \(CM:MD=3:5\), поэтому \(\overrightarrow{CM}=\frac38\overrightarrow{CD}=-\frac38\vec p\). Следовательно, \(\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CM}=\vec p+\vec q-\frac38\vec p=\frac58\vec p+\vec q\).

1. \(\overrightarrow{DB}=\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AB}=\vec p-\vec q\).
2. \(\overrightarrow{BM}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AM}=-\vec p+\frac58\vec p+\vec q=-\frac38\vec p+\vec q\).
3. \(\overrightarrow{MD}=\overrightarrow{CD}-\overrightarrow{CM}=-\vec p+\frac38\vec p=-\frac58\vec p\).
4. \(\overrightarrow{AM}=\frac58\vec p+\vec q\).
5. \(\overrightarrow{MK}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AK}=-\left(\frac58\vec p+\vec q\right)+\frac12\vec p=-\frac18\vec p-\vec q\).

Ответ: \(\overrightarrow{DB}=\vec p-\vec q\), \(\overrightarrow{BM}=-\frac38\vec p+\vec q\), \(\overrightarrow{MD}=-\frac58\vec p\), \(\overrightarrow{AM}=\frac58\vec p+\vec q\), \(\overrightarrow{MK}=-\frac18\vec p-\vec q\).