2. Рис. 773. Дано: AB : BC = 1 : 2; AC = 5√5. Доказать: ABCD – прямоугольник. Найти: AB, BC.

Анализ: На рисунке 773 изображен четырехугольник ABCD, вписанный в окружность. Диагонали AC и BD пересекаются в центре окружности O. Это означает, что диагонали являются диаметрами окружности. Если диагонали вписанного четырехугольника равны и пересекаются в центре окружности, то этот четырехугольник является прямоугольником.

Решение:

1. Свойство вписанного четырехугольника: Четырехугольник ABCD вписан в окружность.
2. Свойство диагоналей: Диагонали AC и BD являются диаметрами окружности, так как проходят через центр O. Следовательно, AC = BD.
3. Доказательство прямоугольника: В четырехугольнике ABCD диагонали AC и BD равны (AC = BD) и точкой пересечения делятся пополам (AO = OC = BO = OD, так как это радиусы). Четырехугольник, у которого диагонали равны и точкой пересечения делятся пополам, является прямоугольником. Следовательно, ABCD — прямоугольник.
4. Поиск сторон: В прямоугольном треугольнике ABC (так как ∠B = 90° как вписанный угол, опирающийся на диаметр AC) применим теорему Пифагора: AB² + BC² = AC².
5. Соотношение сторон: По условию, AB : BC = 1 : 2. Обозначим AB = x, тогда BC = 2x.
6. Подстановка в теорему Пифагора: x² + (2x)² = (5√5)².
7. Решение уравнения: x² + 4x² = 25 * 5.
8. Упрощение: 5x² = 125.
9. Нахождение x: x² = 125 / 5 = 25.
10. Значение x: x = √25 = 5.
11. Нахождение сторон: AB = x = 5. BC = 2x = 2 * 5 = 10.

Ответ: ABCD — прямоугольник. AB = 5, BC = 10.