2. Решите уравнения a. $$5^{x+2} + 3 \cdot 5^x = 140$$ b. $$25^x - 6 \cdot 5^x + 5 = 0$$

Решение:

1. а. $$5^{x+2} + 3 \cdot 5^x = 140$$
   Преобразуем $$5^{x+2} = 5^x \cdot 5^2 = 25 \cdot 5^x$$.
   Уравнение примет вид: $$25 \cdot 5^x + 3 \cdot 5^x = 140$$.
   Пусть $$y = 5^x$$. Тогда: $$25y + 3y = 140$$.
   $$28y = 140$$.
   $$y = \frac{140}{28} = 5$$.
   Возвращаемся к замене: $$5^x = 5$$.
   Следовательно, $$x = 1$$.
2. б. $$25^x - 6 \cdot 5^x + 5 = 0$$
   Заметим, что $$25^x = (5^2)^x = (5^x)^2$$.
   Пусть $$y = 5^x$$. Уравнение примет вид: $$y^2 - 6y + 5 = 0$$.
   Это квадратное уравнение. Решим его.
   Дискриминант $$D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 36 - 20 = 16$$.
   Корни: $$y_1 = \frac{6 + \sqrt{16}}{2} = \frac{6+4}{2} = 5$$.
   $$y_2 = \frac{6 - \sqrt{16}}{2} = \frac{6-4}{2} = 1$$.
   Теперь возвращаемся к замене:
   1) $$5^x = 5$$, следовательно, $$x = 1$$.
   2) $$5^x = 1$$, следовательно, $$x = 0$$.

Ответ: а. 1; б. 0; 1.