2 PSR — прямая, а ∠ PSQ и ∠ PQR – прямые углы. Найдите углы ∠ с и ∠ d.

Решение:

Дано, что PSR — прямая, \( \angle PSQ \) и \( \angle PQR \) — прямые углы. Это означает, что \( \angle PSQ = 90^{\circ} \) и \( \angle PQR = 90^{\circ} \).

Рассмотрим треугольник PQR.

• \( \angle PQR = 90^{\circ} \) (по условию).
• \( \angle PRQ = 26^{\circ} \) (из рисунка).
• Сумма углов в треугольнике равна 180°:
• \( \angle QPR + \angle PQR + \angle PRQ = 180^{\circ} \)
• \( \angle QPR = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 26^{\circ} \)
• \( \angle QPR = 180^{\circ} - 116^{\circ} \)
• \( \angle QPR = 64^{\circ} \)

Из рисунка видно, что \( \angle QPR \) — это угол \( \angle d \).

• \( \angle d = 64^{\circ} \).

Теперь рассмотрим треугольник PSQ.

• \( \angle PSQ = 90^{\circ} \) (по условию).
• \( \angle PQS \) и \( \angle PQR \) — это один и тот же угол, поскольку точки R и S лежат на одной прямой, проходящей через Q.
• \( \angle PQS = 180^{\circ} - \angle PQR = 180^{\circ} - 90^{\circ} = 90^{\circ} \) - это тоже ошибка.

• По условию \( \angle PQR \) — прямой угол, следовательно, точка S лежит на отрезке PR, а \( \angle PQR \) — внешний угол.

• Если \( \angle PQR \) — прямой угол, то точка S лежит на луче QR, а \( \angle PSQ \) — внешний угол.

• Предположим, что S лежит на PR, а Q — на прямой PSR.

• Пусть Q лежит на прямой PSR. Тогда \( \angle PQR \) — внешний угол к \( \triangle PQS \).

• Из рисунка: S лежит на PR. Q лежит на прямой PSR. \( \angle PSQ = 90^{\circ} \). \( \angle PQR = 90^{\circ} \). \( \angle PRQ = 26^{\circ} \).

• \( \angle PQR \) — прямой угол, значит, PQ перпендикулярно QR. Но Q лежит на прямой PSR. Значит, PQ перпендикулярно PSR, что невозможно, т.к. P — точка.

• \( \angle c \) — это \( \angle SPQ \). \( \angle d \) — это \( \angle QPR \).

• В \( \triangle PQR \), \( \angle PQR = 90^{\circ} \), \( \angle PRQ = 26^{\circ} \).

• \( \angle QPR = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 26^{\circ} = 64^{\circ} \).
• \( \angle d = 64^{\circ} \).
• В \( \triangle PSQ \), \( \angle PSQ = 90^{\circ} \). \( \angle PQS \) — это тот же угол, что и \( \angle PQR \), но расположен иначе.

• Если \( \angle PQR = 90^{\circ} \), то Q лежит на прямой PSR. Тогда \( \angle PQS = 180^{\circ} \) — развернутый угол.

• Если \( \angle PQS \) — угол, то \( \angle c + \angle d = \angle P \).

• \( \angle c = \angle SPQ \).

• \( \angle c + \angle d = \angle SPQ + \angle QPR = \angle SPR \).

• В \( \triangle PSQ \), \( \angle PSQ = 90^{\circ} \).

• \( \angle SPQ + \angle PQS = 90^{\circ} \).

• \( \angle c + \angle PQS = 90^{\circ} \).

• \( \angle PQS \) не равен \( \angle PQR \) (90°).

• \( \angle PQS = 180^{\circ} - \angle PQR = 180^{\circ} - 90^{\circ} = 90^{\circ} \) — если S лежит на прямой PR. Но S — вершина треугольника.

• Если \( \angle PQR = 90^{\circ} \), то QR перпендикулярно PQ. Если PSR — прямая, то Q лежит на ней.

• \( \angle c \) — это \( \angle SPQ \). \( \angle d \) — это \( \angle QPR \).

• \( \angle c + \angle d = \angle SPR \).

• В \( \triangle PSQ \): \( \angle PSQ = 90^{\circ} \) (угол при вершине S). \( \angle SPQ = \angle c \).

• \( \angle PQS = 180^{\circ} - \angle c - 90^{\circ} = 90^{\circ} - \angle c \).

• \( \angle PQR = 90^{\circ} \). \( \angle PQS + \angle SQR = 90^{\circ} \).

• \( 90^{\circ} - \angle c + \angle SQR = 90^{\circ} \).

• \( \angle SQR = \angle c \).
• Рассмотрим \( \triangle RQS \): \( \angle SRQ = 26^{\circ} \), \( \angle SQR = \angle c \).
• \( \angle RSQ = 180^{\circ} - 26^{\circ} - \angle c \).
• \( \angle PSQ = 90^{\circ} \). \( \angle PSQ + \angle RSQ = 180^{\circ} \) (развернутый угол).
• \( 90^{\circ} + 180^{\circ} - 26^{\circ} - \angle c = 180^{\circ} \).
• \( 90^{\circ} - 26^{\circ} - \angle c = 0^{\circ} \).
• \( 64^{\circ} - \angle c = 0^{\circ} \).
• \( \angle c = 64^{\circ} \).
• \( \angle d = 64^{\circ} \).

Ответ: \( \angle c = 64^{\circ} \), \( \angle d = 64^{\circ} \).