2. Постройте график функции y = 8 + 2x - x². Пользуясь графиком, найдите: 1) промежуток убывания функции; 2) множество решений неравенства 8 + 2x - x² ≤ 0.

Решение:

Функция y = -x² + 2x + 8 — это парабола, ветви которой направлены вниз (так как коэффициент при x² отрицательный).

1. Найдём вершину параболы:

Координата x вершины: \( x_в = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{2(-1)} = -\frac{2}{-2} = 1 \)

Координата y вершины: \( y_в = -(1)² + 2(1) + 8 = -1 + 2 + 8 = 9 \)

Вершина параболы находится в точке (1; 9).

2. Найдём точки пересечения с осью Ox:

Приравняем функцию к нулю: \( -x² + 2x + 8 = 0 \)

Умножим на -1: \( x² - 2x - 8 = 0 \)

По теореме Виета: \( x_1 + x_2 = 2 \) и \( x_1 \cdot x_2 = -8 \).

Корни: \( x_1 = -2 \) и \( x_2 = 4 \).

Точки пересечения с осью Ox: (-2; 0) и (4; 0).

3. Промежуток убывания функции:

Парабола убывает при x > x_в, то есть при x > 1.

Ответ: \( (1; +\infty) \)

4. Множество решений неравенства 8 + 2x - x² ≤ 0:

Это соответствует областям, где график функции лежит ниже или на оси Ox. Это происходит при x ≤ -2 и x ≥ 4.

Ответ: \( (-\infty; -2] \cup [4; +\infty) \)

График функции: