2. Отрезки АС и BD пересекаются в их общей середине точке О. Докажите, что прямые АВ и CD параллельны.

Решение:

Дано: Отрезки \(AC\) и \(BD\) пересекаются в точке \(O\). \(AO = OC\), \(BO = OD\).

Доказать: \(AB Ⅰ CD\).

Доказательство:

1. Рассмотрим треугольники \( \triangle AOB \) и \( \triangle COD \).
2. У нас есть:
• \(AO = OC\) (по условию, \(O\) — середина \(AC\)).
• \(BO = OD\) (по условию, \(O\) — середина \(BD\)).
• \( \angle AOB = \angle COD \) (как вертикальные углы).
3. По двум сторонам и углу между ними (II признак равенства треугольников), \( \triangle AOB = \triangle COD \).
4. Из равенства треугольников следует, что соответствующие углы равны, в том числе \( \angle BAC = \angle ACD \) (или \( \angle OAB = \angle OCD \)).
5. Эти углы являются накрест лежащими при прямых \(AB\) и \(CD\) и секущей \(AC\).
6. Так как накрест лежащие углы равны, то прямые \(AB\) и \(CD\) параллельны.

Что и требовалось доказать.