№ 2. Отметьте на координатной плоскости точки М(3;5), К(9;2), Р(-11; -2). Проведите лучи МК и МР. Измерьте угол КМР.

Задача №2

Чтобы найти угол КМР, мы можем использовать векторы или формулу расстояния между точками.

1. Определение векторов:

Вектор МК: $$ \vec{MK} = (x_K - x_M; y_K - y_M) = (9 - 3; 2 - 5) = (6; -3) $$

Вектор МР: $$ \vec{MP} = (x_P - x_M; y_P - y_M) = (-11 - 3; -2 - 5) = (-14; -7) $$

2. Использование формулы косинуса угла между векторами:

Формула косинуса угла $$ \theta $$ между двумя векторами $$ \vec{a} $$ и $$ \vec{b} $$ выглядит так:

\[ \cos \theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{| \vec{a} | | \vec{b} |} \]

Где $$ \vec{a} \cdot \vec{b} $$ — скалярное произведение векторов, а $$ | \vec{a} | $$ и $$ | \vec{b} | $$ — их длины.

2.1. Находим скалярное произведение $$ \vec{MK} \cdot \vec{MP} $$:

\[ \vec{MK} \cdot \vec{MP} = (6)(-14) + (-3)(-7) = -84 + 21 = -63 \]

2.2. Находим длины векторов:

Длина вектора МК: $$ | \vec{MK} | = \sqrt{6^2 + (-3)^2} = \sqrt{36 + 9} = \sqrt{45} = 3\sqrt{5} $$

Длина вектора МР: $$ | \vec{MP} | = \sqrt{(-14)^2 + (-7)^2} = \sqrt{196 + 49} = \sqrt{245} $$

Чтобы упростить $$ \sqrt{245} $$, заметим, что $$ 245 = 5 \times 49 $$. Значит, $$ \sqrt{245} = \sqrt{49 \times 5} = 7\sqrt{5} $$.

2.3. Вычисляем косинус угла КМР:

\[ \cos(\angle KMP) = \frac{-63}{(3\sqrt{5})(7\sqrt{5})} = \frac{-63}{21 \times 5} = \frac{-63}{105} \]

Упростим дробь $$ \frac{-63}{105} $$. Оба числа делятся на 21:

\[ \frac{-63}{105} = \frac{-3}{5} \]

3. Находим угол:

Теперь мы находим угол, косинус которого равен $$ -0.6 $$. Используем арккосинус:

\[ \angle KMP = \arccos\left(-\frac{3}{5}\right) \]

Приблизительное значение угла (в градусах):

\[ \angle KMP \approx 126.87^{\circ} \]

Ответ: Угол КМР равен $$ \arccos\left(-\frac{3}{5}\right) \approx 126.87^{\circ} $$.