№ 1. Отметьте на координатной плоскости точки А(4;7), В(-7; 8), С(-12; -1), Д(2; -6). Проведите прямые АС и ВД. Найдите координаты точек пересечения: а) прямых АС и ВД; б) прямой АС с осью абсцисс; в) прямой ВД с осью ординат.

Задача №1

Чтобы решить эту задачу, нам нужно выполнить несколько шагов:

1. Отметить точки на координатной плоскости.
   У нас есть точки: А(4;7), В(-7; 8), С(-12; -1), Д(2; -6).
2. Провести прямые АС и ВД.
   Чтобы провести прямую через две точки, нужно найти её уравнение.
3. Найти координаты точек пересечения.

а) Пересечение прямых АС и ВД:

Для начала найдем уравнения прямых АС и ВД.

Прямая АС:
Точки: А(4;7), С(-12;-1)
Уравнение прямой имеет вид: $$y - y_1 = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}(x - x_1)$$
\[ y - 7 = \frac{-1 - 7}{-12 - 4}(x - 4) \]
\[ y - 7 = \frac{-8}{-16}(x - 4) \]
\[ y - 7 = \frac{1}{2}(x - 4) \]
\[ y - 7 = \frac{1}{2}x - 2 \]
\[ y = \frac{1}{2}x + 5 \]

Прямая ВД:
Точки: В(-7;8), Д(2;-6)
\[ y - 8 = \frac{-6 - 8}{2 - (-7)}(x - (-7)) \]
\[ y - 8 = \frac{-14}{9}(x + 7) \]
\[ y - 8 = -\frac{14}{9}x - \frac{98}{9} \]
\[ y = -\frac{14}{9}x - \frac{98}{9} + 8 \]
\[ y = -\frac{14}{9}x - \frac{98}{9} + \frac{72}{9} \]
\[ y = -\frac{14}{9}x - \frac{26}{9} \]

Теперь найдем точку пересечения, приравняв уравнения:

\[ \frac{1}{2}x + 5 = -\frac{14}{9}x - \frac{26}{9} \]

Умножим обе части на 18, чтобы избавиться от знаменателей:

\[ 9x + 90 = -28x - 52 \]

\[ 9x + 28x = -52 - 90 \]

\[ 37x = -142 \]

\[ x = -\frac{142}{37} \]

Теперь найдем y, подставив x в первое уравнение:

\[ y = \frac{1}{2}\left(-\frac{142}{37}\right) + 5 \]

\[ y = -\frac{71}{37} + \frac{185}{37} \]

\[ y = \frac{114}{37} \]

Координаты точки пересечения прямых АС и ВД: $$\left(-\frac{142}{37}; \frac{114}{37}\right)$$

б) Пересечение прямой АС с осью абсцисс:

Ось абсцисс — это ось x, где y = 0.

Используем уравнение прямой АС: $$y = \frac{1}{2}x + 5$$.

\[ 0 = \frac{1}{2}x + 5 \]

\[ -5 = \frac{1}{2}x \]

\[ x = -10 \]

Координаты точки пересечения прямой АС с осью абсцисс: (-10; 0)

в) Пересечение прямой ВД с осью ординат:

Ось ординат — это ось y, где x = 0.

Используем уравнение прямой ВД: $$y = -\frac{14}{9}x - \frac{26}{9}$$.

\[ y = -\frac{14}{9}(0) - \frac{26}{9} \]

\[ y = -\frac{26}{9} \]

Координаты точки пересечения прямой ВД с осью ординат: $$\left(0; -\frac{26}{9}\right)$$