2. Отметьте на координатной плоскости точки А(- 4; 6), B (1; - 4), C (0; 3), D (-6; 0). Найдите координаты точки пересечения отрезков АВ и CD.

Решение:

1. Построение точек:

На координатной плоскости отмечаем точки:

• A(-4; 6)
• B(1; -4)
• C(0; 3)
• D(-6; 0)

2. Составление уравнений прямых, проходящих через отрезки:

Прямая AB:

Уравнение прямой вида \( y = kx + b \).

Подставим координаты точки A(-4; 6): \( 6 = k(-4) + b \) (1)

Подставим координаты точки B(1; -4): \( -4 = k(1) + b \) (2)

Вычтем из (1) уравнение (2):

\( 6 - (-4) = -4k - k \)

\( 10 = -5k \) \( k = -2 \)

Подставим \( k = -2 \) в уравнение (2):

\( -4 = -2 + b \) \( b = -2 \)

Уравнение прямой AB: \( y = -2x - 2 \).

Прямая CD:

Уравнение прямой вида \( y = kx + b \).

Подставим координаты точки C(0; 3): \( 3 = k(0) + b \) \( b = 3 \)

Подставим координаты точки D(-6; 0): \( 0 = k(-6) + 3 \) \( -6k = -3 \) \( k = \frac{1}{2} \)

Уравнение прямой CD: \( y = \frac{1}{2}x + 3 \).

3. Нахождение точки пересечения:

Приравниваем уравнения прямых AB и CD:

\( -2x - 2 = \frac{1}{2}x + 3 \)

Умножим обе части на 2, чтобы избавиться от дроби:

\( -4x - 4 = x + 6 \)

\( -4x - x = 6 + 4 \)

\( -5x = 10 \) \( x = -2 \)

Подставим \( x = -2 \) в любое из уравнений, например, в уравнение прямой AB:

\( y = -2(-2) - 2 = 4 - 2 = 2 \)

4. Проверка принадлежности отрезкам:

Точка пересечения имеет координаты (-2; 2).

Для отрезка AB:

• x-координата (-2) находится между -4 (A) и 1 (B).
• y-координата (2) находится между 6 (A) и -4 (B).

Для отрезка CD:

• x-координата (-2) находится между -6 (D) и 0 (C).
• y-координата (2) находится между 0 (D) и 3 (C).

Следовательно, точка пересечения принадлежит обоим отрезкам.

1. Построены точки A(-4; 6), B(1; -4), C(0; 3), D(-6; 0) на координатной плоскости.
2. Найдено уравнение прямой AB: \( y = -2x - 2 \).
3. Найдено уравнение прямой CD: \( y = \frac{1}{2}x + 3 \).
4. Найдена точка пересечения прямых: \( x = -2 \), \( y = 2 \).
5. Проверено, что точка пересечения принадлежит обоим отрезкам.

Ответ: (-2; 2).