2. Отметьте на координатной плоскости точки А(- 4; 6), B (1; - 4), C (0; 3), D (-6; 0). Найдите координаты точки пересечения отрезков АВ и CD.

Решение:

Для нахождения точки пересечения отрезков АВ и CD, сначала найдём уравнения прямых, на которых лежат эти отрезки.

Уравнение прямой AB:

Точки: \( A(-4; 6) \) и \( B(1; -4) \).

Уравнение прямой имеет вид: \( \frac{x - x_1}{x_2 - x_1} = \frac{y - y_1}{y_2 - y_1} \)

\[ \frac{x - (-4)}{1 - (-4)} = \frac{y - 6}{-4 - 6} \]

\[ \frac{x + 4}{5} = \frac{y - 6}{-10} \]

Умножим обе части на -10:

\[ -2(x + 4) = y - 6 \]

\[ -2x - 8 = y - 6 \]

\[ y = -2x - 2 \]

Уравнение прямой CD:

Точки: \( C(0; 3) \) и \( D(-6; 0) \).

\[ \frac{x - 0}{-6 - 0} = \frac{y - 3}{0 - 3} \]

\[ \frac{x}{-6} = \frac{y - 3}{-3} \]

Умножим обе части на -3:

\[ \frac{1}{2}x = y - 3 \]

\[ y = \frac{1}{2}x + 3 \]

Найдём точку пересечения прямых AB и CD:

Приравняем правые части уравнений:

\[ -2x - 2 = \frac{1}{2}x + 3 \]

Перенесём члены с \(x\) в одну сторону, а числа — в другую:

\[ -2x - \frac{1}{2}x = 3 + 2 \]

\[ -\frac{4}{2}x - \frac{1}{2}x = 5 \]

\[ -\frac{5}{2}x = 5 \]

Умножим обе части на \(-\frac{2}{5}\):

\[ x = 5 \cdot (-\frac{2}{5}) = -2 \]

Теперь найдём \(y\), подставив \(x = -2\) в любое из уравнений. Возьмём уравнение прямой AB:

\[ y = -2(-2) - 2 = 4 - 2 = 2 \]

Точка пересечения прямых — \( (-2; 2) \).

Проверим, лежат ли точки \( A(-4; 6), B(1; -4), C(0; 3), D(-6; 0) \) и точка пересечения \( E(-2; 2) \) на соответствующих отрезках. Для отрезка AB \(x\) должен быть от -4 до 1, а \(y\) — от -4 до 6. Для отрезка CD \(x\) должен быть от -6 до 0, а \(y\) — от 0 до 3. Точка \( E(-2; 2) \) удовлетворяет этим условиям.

Ответ: координаты точки пересечения отрезков АВ и CD равны \( (-2; 2) \).